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underneath和 under有什么区别

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今天的天气

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九年级数学：一元二次方程核心知识点
一元二次方程是九年级代数核心内容，重点掌握定义、解法、根的判别式、根与系数关系、实际应用，以下是系统梳理：
一、一元二次方程的定义与一般形式
定义：只含一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程。
一般形式：
ax
2
+bx+c=0
（
a

=0
，
、
、
为常数）
二次项：
ax
2

，二次项系数：
a
（
a

=0
是核心前提，否则不是一元二次方程）
一次项：
bx
，一次项系数：
b
常数项：
c
二、一元二次方程的 4 种常用解法
1. 直接开平方法
适用：形如
(x+m)
2
=n
（
n≥0
）的方程
步骤：直接开平方得
x+m=±
n

，解得
x=−m±
n

2. 配方法
适用：所有一元二次方程（尤其二次项系数为 1 时简便）
步骤：
① 化二次项系数为 1；② 移项（常数项在右边）；③ 配方（两边加一次项系数一半的平方）；④ 化为平方形式，开方求解
3. 公式法（通用解法）
求根公式：
x=
2a
−b±
b
2
−4ac

（
b
2
−4ac≥0
）
步骤：① 化为一般形式，确定
、
、
；② 计算判别式
Δ=b
2
−4ac
；③ 代入公式求解
4. 因式分解法（最简便，优先用）
适用：方程可化为
(x+m)(x+n)=0
的形式
步骤：① 移项使右边为 0；② 左边因式分解；③ 令每个因式为 0，解两个一元一次方程
三、根的判别式（
Δ=b
2
−4ac
）
用于判断方程根的个数，前提：方程为一般形式
ax
2
+bx+c=0
（
a

=0
）
Δ>0
⇨ 方程有两个不相等的实数根
Δ=0
⇨ 方程有两个相等的实数根
Δ<0
⇨ 方程没有实数根
四、根与系数的关系（韦达定理）
前提：方程有两个实数根（
Δ≥0
），若两根为
、
，则：
两根之和：
x
1

+x
2

=−
a
b

两根之积：
x
1

⋅x
2

=
a
c

五、实际应用（高频考点）
核心：审题→找等量关系→列方程→求解→检验（舍去不合理解）
增长率问题：
a(1±x)
n
=b
（
a
：基础量，
x
：增长率 / 降低率，
n
：次数，
b
：最终量）
面积问题：结合图形（矩形、正方形），用 “边长 × 边长 = 面积” 列方程
利润问题：利润 =（售价 - 成本）× 销量，根据 “总利润 = 目标利润” 列方程
六、常见易错点
忽略
a

=0
，误将一次方程当作一元二次方程；
开平方时漏写 “±”，导致丢根；
实际问题未检验，保留负数、分数等不合理解（如边长、人数不能为负）；
韦达定理使用前未验证
Δ≥0
。

九年级数学：一元二次方程核心知识点一元二次方程是九年级代数核心内容，重点掌握定义、解法、根的判别式、根与系数关系、实际应用，以下是系统梳理：一、一元二次方程的定义与一般形式定义：只含一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程。一般形式： ax 2 +bx+c=0 （ a  =0 ，、、为常数）二次项： ax 2 ，二次项系数： a （ a  =0 是核心前提，否则不是一元二次方程）一次项： bx ，一次项系数： b 常数项： c 二、一元二次方程的 4 种常用解法 1. 直接开平方法适用：形如 (x+m) 2 =n （ n≥0 ）的方程步骤：直接开平方得 x+m=± n ，解得 x=−m± n 2. 配方法适用：所有一元二次方程（尤其二次项系数为 1 时简便）步骤： ① 化二次项系数为 1；② 移项（常数项在右边）；③ 配方（两边加一次项系数一半的平方）；④ 化为平方形式，开方求解 3. 公式法（通用解法）求根公式： x= 2a −b± b 2 −4ac （ b 2 −4ac≥0 ）步骤：① 化为一般形式，确定、、；② 计算判别式 Δ=b 2 −4ac ；③ 代入公式求解 4. 因式分解法（最简便，优先用）适用：方程可化为 (x+m)(x+n)=0 的形式步骤：① 移项使右边为 0；② 左边因式分解；③ 令每个因式为 0，解两个一元一次方程三、根的判别式（ Δ=b 2 −4ac ）用于判断方程根的个数，前提：方程为一般形式 ax 2 +bx+c=0 （ a  =0 ） Δ>0 ⇨ 方程有两个不相等的实数根 Δ=0 ⇨ 方程有两个相等的实数根 Δ<0 ⇨ 方程没有实数根四、根与系数的关系（韦达定理）前提：方程有两个实数根（ Δ≥0 ），若两根为、，则：两根之和： x 1 +x 2 =− a b 两根之积： x 1 ⋅x 2 = a c 五、实际应用（高频考点）核心：审题→找等量关系→列方程→求解→检验（舍去不合理解）增长率问题： a(1±x) n =b （ a ：基础量， x ：增长率 / 降低率， n ：次数， b ：最终量）面积问题：结合图形（矩形、正方形），用 “边长 × 边长 = 面积” 列方程利润问题：利润 =（售价 - 成本）× 销量，根据 “总利润 = 目标利润” 列方程六、常见易错点忽略 a  =0 ，误将一次方程当作一元二次方程；开平方时漏写 “±”，导致丢根；实际问题未检验，保留负数、分数等不合理解（如边长、人数不能为负）；韦达定理使用前未验证 Δ≥0 。

和差问题

和差问题

八年级数学：一次函数核心知识点
一次函数是初中代数的核心内容，是后续学习反比例函数、二次函数的基础，重点掌握定义、表达式、图像、性质、应用五大模块。
一、一次函数的定义
一般形式：形如
y=kx+b
（
k
、
b
为常数，且
k

=0
）的函数，叫做一次函数。
特殊形式（正比例函数）：当
b=0
时，一次函数变为
y=kx
（
k

=0
），叫做正比例函数（正比例函数是特殊的一次函数）。
关键条件：自变量
x
的次数为 1，且系数
k

=0
（若
k=0
，则
y=b
是常函数，不是一次函数）。
二、一次函数的图像
图像形状：一次函数
y=kx+b
的图像是一条直线，简称 “直线
y=kx+b
”。
图像画法（两点法）：
找与
y
轴交点：令
x=0
，得
y=b
，交点为
(0,b)
；
找与
x
轴交点：令
y=0
，得
x=−
k
b

，交点为
(−
k
b

,0)
；
连接两点即可画出直线。
正比例函数图像：必过原点
(0,0)
，再找一个点（如
(1,k)
）连接即可。
三、一次函数的性质（核心考点）
1. 增减性（由
k
决定）
当
k>0
时，
y
随
x
的增大而增大（直线从左到右上升）；
当
k<0
时，
y
随
x
的增大而减小（直线从左到右下降）。
2. 截距与位置（由
b
决定）
b
是直线与
y
轴交点的纵坐标，叫纵截距；
b>0
：直线与
y
轴交于正半轴；
b=0
：直线过原点（正比例函数）；
b<0
：直线与
y
轴交于负半轴。
3. 直线位置关系
两直线
y=k
1

x+b
1

和
y=k
2

x+b
2

平行
⟺k
1

=k
2

且
b
1


=b
2

；
两直线相交
⟺k
1


=k
2

。
四、一次函数的解析式求法（待定系数法）
步骤：
① 设：设解析式为
y=kx+b
（正比例函数设
y=kx
）；
② 代：将已知两点坐标代入解析式，得到方程组；
③ 解：解方程组求
k
、
b
；
④ 写：写出解析式。
示例：已知直线过
(1,3)
、
(2,5)
，代入得
{
k+b=3
2k+b=5

，解得
k=2,b=1
，解析式为
y=2x+1
。
五、一次函数的实际应用
常见类型：行程问题、利润问题、方案选择、水电费 / 话费计费等；
解题关键：
找等量关系，确定
k
（变化率，如速度、单价）和
b
（初始值，如初始距离、固定成本）；
结合图像分析（交点表示 “费用 / 距离相等”，截距表示 “初始状态”）。
六、易错点提醒
忽略
k

=0
的条件，误将
y=5
（常函数）当作一次函数；
混淆增减性：
k>0
才递增，
k<0
递减，与
b
无关；
实际问题中，自变量
x
有取值范围，图像可能是线段 / 射线，不是完整直线。

八年级数学：一次函数核心知识点一次函数是初中代数的核心内容，是后续学习反比例函数、二次函数的基础，重点掌握定义、表达式、图像、性质、应用五大模块。一、一次函数的定义一般形式：形如 y=kx+b （ k 、 b 为常数，且 k  =0 ）的函数，叫做一次函数。特殊形式（正比例函数）：当 b=0 时，一次函数变为 y=kx （ k  =0 ），叫做正比例函数（正比例函数是特殊的一次函数）。关键条件：自变量 x 的次数为 1，且系数 k  =0 （若 k=0 ，则 y=b 是常函数，不是一次函数）。二、一次函数的图像图像形状：一次函数 y=kx+b 的图像是一条直线，简称 “直线 y=kx+b ”。图像画法（两点法）：找与 y 轴交点：令 x=0 ，得 y=b ，交点为 (0,b) ；找与 x 轴交点：令 y=0 ，得 x=− k b ，交点为 (− k b ,0) ；连接两点即可画出直线。正比例函数图像：必过原点 (0,0) ，再找一个点（如 (1,k) ）连接即可。三、一次函数的性质（核心考点） 1. 增减性（由 k 决定）当 k>0 时， y 随 x 的增大而增大（直线从左到右上升）；当 k<0 时， y 随 x 的增大而减小（直线从左到右下降）。 2. 截距与位置（由 b 决定） b 是直线与 y 轴交点的纵坐标，叫纵截距； b>0 ：直线与 y 轴交于正半轴； b=0 ：直线过原点（正比例函数）； b<0 ：直线与 y 轴交于负半轴。 3. 直线位置关系两直线 y=k 1 x+b 1 和 y=k 2 x+b 2 平行 ⟺k 1 =k 2 且 b 1  =b 2 ；两直线相交 ⟺k 1  =k 2 。四、一次函数的解析式求法（待定系数法）步骤： ① 设：设解析式为 y=kx+b （正比例函数设 y=kx ）； ② 代：将已知两点坐标代入解析式，得到方程组； ③ 解：解方程组求 k 、 b ； ④ 写：写出解析式。示例：已知直线过 (1,3) 、 (2,5) ，代入得 { k+b=3 2k+b=5 ，解得 k=2,b=1 ，解析式为 y=2x+1 。五、一次函数的实际应用常见类型：行程问题、利润问题、方案选择、水电费 / 话费计费等；解题关键：找等量关系，确定 k （变化率，如速度、单价）和 b （初始值，如初始距离、固定成本）；结合图像分析（交点表示 “费用 / 距离相等”，截距表示 “初始状态”）。六、易错点提醒忽略 k  =0 的条件，误将 y=5 （常函数）当作一次函数；混淆增减性： k>0 才递增， k<0 递减，与 b 无关；实际问题中，自变量 x 有取值范围，图像可能是线段 / 射线，不是完整直线。

DFD数据流图转换为模块架构图

DFD数据流图转换为模块架构图

八年级数学 / 一次函数 / 函数（基础核心知识点）
函数是一次函数的前置核心概念，也是初中代数从 “常量计算” 过渡到 “变量关系研究” 的关键，八年级的函数定义为入门版，围绕两个变量的对应关系展开，所有一次函数的知识点都建立在函数基础概念之上。
一、函数的核心定义（八年级版）
在一个变化过程中，有两个变量（通常用
x
和
y
表示），如果对于
x
的每一个确定的值，
y
都有唯一确定的值与其对应，那么就说
y
是
x
的函数，其中：
x
叫做自变量（主动变化的量）；
y
叫做因变量 / 函数（随自变量变化而变化的量）。
定义关键考点（必记）
判断两个变量是否成函数关系，只看一个标准：自变量取一个值时，因变量是否有唯一的值对应（一对一、多对一都符合，一对多绝对不符合）。✅ 举例：正方形的面积
S
与边长
a
，
a
取一个正数，
S
只有一个值（
S=a
2

），
S
是
a
的函数；❌ 举例：人的身高
y
与年龄
x
，年龄
10
岁时，不同人的身高不同，
y
没有唯一值，身高不是年龄的函数。
二、函数的三大表示方法（八年级重点，一次函数均适用）
函数的三种表示方法可以相互转化，各有优势，八年级主要考查三种方法的识别和简单转化，具体如下：
表示方法定义优点缺点简单例子（
y=2x
，
x
为非负整数）
解析式法用数学式子表示两个变量的对应关系（如
y=kx+b
）简洁明了，能直接计算任意自变量对应的函数值不够直观，无法直接看出变化趋势
y=2x
列表法用表格列出自变量和对应的函数值数值直观，易查对应值只能表示有限个自变量的取值
x
：0、1、2；
y
：0、2、4
图象法以自变量为横轴，函数值为纵轴，在平面直角坐标系中描点连线形成的图形最直观，能清晰看出函数的变化趋势（上升 / 下降）读取数值不够精确过原点的一条射线（
x≥0
）
注意
八年级研究的函数图象，优先掌握描点法画图象的三步法：① 列表（取自变量的若干值，算对应函数值）；② 描点（在坐标系中标出
(x,y)
）；③ 连线（根据点的分布，用直线 / 平滑曲线连接）。
三、自变量的取值范围（定义域）
自变量
x
的取值要保证式子有意义，若涉及实际问题，还需保证实际情况成立，八年级基础阶段主要考查两类：
1. 纯数学式子的取值范围
整式型（如
y=2x+3
、
y=5x
）：
x
取全体实数；
分式型（如
y=
x−2
1

）：分母不为 0（
x

=2
）；
二次根式型（如
y=
x−1

）：被开方数非负（
x≥1
）。
2. 实际问题的取值范围
结合实际意义判断，自变量取正整数 / 非负数 / 正数等。✅ 举例：若
x
表示购买笔的数量，
x
取正整数（1,2,3…）；若
x
表示时间，
x
取非负数（
x≥0
）。
四、函数值的求法
已知自变量
x
的取值，求函数
y
的值，核心方法：代入解析式计算。✅ 举例：已知函数
y=3x−1
，求
x=2
时的函数值：将
x=2
代入解析式，得
y=3×2−1=5
，即
x=2
时，函数值为 5。
五、与一次函数的衔接（核心铺垫）
一次函数是特殊的函数，满足函数的所有定义，只是对 “解析式的形式” 有固定要求：若两个变量
x
、
y
的函数解析式可以表示为
y=kx+b
（
k
、
b
为常数，且
k

=0
）的形式，则称
y
是
x
的一次函数。
当
b=0
时，解析式变为
y=kx
（
k

=0
），此时
y
是
x
的正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数；
一次函数的自变量
x
为整式型，取值范围是全体实数（无实际限制时）。
简单说：正比例函数⊂一次函数⊂函数，三者是包含关系。
六、基础常考题型（判断 + 计算）
题型 1：判断是否为函数关系
例：下列关系中，
y
是
x
的函数的有（）①
y=3x−5
；②
y=
x
2

；③
y
2
=x
；④ 圆的周长
C
与半径
r
答案：①②④（③中
x=4
时，
y=2
或
−2
，一对多，不是函数）。
题型 2：求自变量取值范围
例：求函数
y=
x−3
x+1

的自变量取值范围：解：被开方数非负→
x+1≥0
，分母不为 0→
x−3

=0
，综上
x≥−1
且
x

=3
。
题型 3：求函数值
例：已知一次函数
y=2x+1
，当
x=−3
时，求
y
的值；当
y=7
时，求
x
的值。解：①
x=−3
时，
y=2×(−3)+1=−5
；②
y=7
时，
7=2x+1
，解得
x=3
。

八年级数学 / 一次函数 / 函数（基础核心知识点）函数是一次函数的前置核心概念，也是初中代数从 “常量计算” 过渡到 “变量关系研究” 的关键，八年级的函数定义为入门版，围绕两个变量的对应关系展开，所有一次函数的知识点都建立在函数基础概念之上。一、函数的核心定义（八年级版）在一个变化过程中，有两个变量（通常用 x 和 y 表示），如果对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么就说 y 是 x 的函数，其中： x 叫做自变量（主动变化的量）； y 叫做因变量 / 函数（随自变量变化而变化的量）。定义关键考点（必记）判断两个变量是否成函数关系，只看一个标准：自变量取一个值时，因变量是否有唯一的值对应（一对一、多对一都符合，一对多绝对不符合）。✅ 举例：正方形的面积 S 与边长 a ， a 取一个正数， S 只有一个值（ S=a 2 ）， S 是 a 的函数；❌ 举例：人的身高 y 与年龄 x ，年龄 10 岁时，不同人的身高不同， y 没有唯一值，身高不是年龄的函数。二、函数的三大表示方法（八年级重点，一次函数均适用）函数的三种表示方法可以相互转化，各有优势，八年级主要考查三种方法的识别和简单转化，具体如下：表示方法定义优点缺点简单例子（ y=2x ， x 为非负整数）解析式法用数学式子表示两个变量的对应关系（如 y=kx+b ）简洁明了，能直接计算任意自变量对应的函数值不够直观，无法直接看出变化趋势 y=2x 列表法用表格列出自变量和对应的函数值数值直观，易查对应值只能表示有限个自变量的取值 x ：0、1、2； y ：0、2、4 图象法以自变量为横轴，函数值为纵轴，在平面直角坐标系中描点连线形成的图形最直观，能清晰看出函数的变化趋势（上升 / 下降）读取数值不够精确过原点的一条射线（ x≥0 ）注意八年级研究的函数图象，优先掌握描点法画图象的三步法：① 列表（取自变量的若干值，算对应函数值）；② 描点（在坐标系中标出 (x,y) ）；③ 连线（根据点的分布，用直线 / 平滑曲线连接）。三、自变量的取值范围（定义域）自变量 x 的取值要保证式子有意义，若涉及实际问题，还需保证实际情况成立，八年级基础阶段主要考查两类： 1. 纯数学式子的取值范围整式型（如 y=2x+3 、 y=5x ）： x 取全体实数；分式型（如 y= x−2 1 ）：分母不为 0（ x  =2 ）；二次根式型（如 y= x−1 ）：被开方数非负（ x≥1 ）。 2. 实际问题的取值范围结合实际意义判断，自变量取正整数 / 非负数 / 正数等。✅ 举例：若 x 表示购买笔的数量， x 取正整数（1,2,3…）；若 x 表示时间， x 取非负数（ x≥0 ）。四、函数值的求法已知自变量 x 的取值，求函数 y 的值，核心方法：代入解析式计算。✅ 举例：已知函数 y=3x−1 ，求 x=2 时的函数值：将 x=2 代入解析式，得 y=3×2−1=5 ，即 x=2 时，函数值为 5。五、与一次函数的衔接（核心铺垫）一次函数是特殊的函数，满足函数的所有定义，只是对 “解析式的形式” 有固定要求：若两个变量 x 、 y 的函数解析式可以表示为 y=kx+b （ k 、 b 为常数，且 k  =0 ）的形式，则称 y 是 x 的一次函数。当 b=0 时，解析式变为 y=kx （ k  =0 ），此时 y 是 x 的正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数；一次函数的自变量 x 为整式型，取值范围是全体实数（无实际限制时）。简单说：正比例函数⊂一次函数⊂函数，三者是包含关系。六、基础常考题型（判断 + 计算）题型 1：判断是否为函数关系例：下列关系中， y 是 x 的函数的有（）① y=3x−5 ；② y= x 2 ；③ y 2 =x ；④ 圆的周长 C 与半径 r 答案：①②④（③中 x=4 时， y=2 或 −2 ，一对多，不是函数）。题型 2：求自变量取值范围例：求函数 y= x−3 x+1 的自变量取值范围：解：被开方数非负→ x+1≥0 ，分母不为 0→ x−3  =0 ，综上 x≥−1 且 x  =3 。题型 3：求函数值例：已知一次函数 y=2x+1 ，当 x=−3 时，求 y 的值；当 y=7 时，求 x 的值。解：① x=−3 时， y=2×(−3)+1=−5 ；② y=7 时， 7=2x+1 ，解得 x=3 。

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