七年级数学 / 有理数 / 有理数及其大小比较 一、小节概览 本小节是有理数章节的基础核心内容，承接小学算术数（正数、0），拓展到负数范畴，核心目标是：1. 理解有理数的定义与分类，建立 “数系扩展” 的认知；2. 掌握数轴、相反数、绝对值的概念（工具性知识）；3. 熟练运用多种方法比较有理数的大小，为后续有理数运算奠定基础。 二、核心知识点讲解 （一）有理数的定义与分类 1. 定义 整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。 关键补充：所有有理数都可以表示为 b a ​ （ a 、 b 为整数，且 b  =0 ）的形式；有限小数和无限循环小数都是有理数（如 0.3= 10 3 ​ ， 0. 3 ˙ = 3 1 ​ ）。 2. 分类（两种标准，无遗漏、不重复） 分类标准 具体类别 实例 按定义分 整数：正整数、0、负整数 正整数：1、2、3；0；负整数：-1、-2、-3 分数：正分数、负分数 正分数： 2 1 ​ 、 0.7 ；负分数： − 3 2 ​ 、 −0.5 按性质符号分 正数：正整数、正分数 5 、 4 3 ​ 、 2.8 0（既不是正数，也不是负数） 0 负数：负整数、负分数 −3 、 − 5 1 ​ 、 −1.2 易错点： 误认为 “小数都是分数”：无限不循环小数（如 π ）不是有理数，也不是分数； 分类时遗漏 “0” 或重复归类（如将 0 归为正数或负数）。 （二）数轴 —— 比较有理数大小的 “工具” 1. 定义 规定了原点（表示 0）、正方向（通常向右）和单位长度（统一的长度标准）的直线叫做数轴。 2. 数轴的三要素（缺一不可） 原点：确定 “基准点”（0 的位置）； 正方向：确定 “数的递增方向”（通常用箭头表示）； 单位长度：确定 “数与点的对应关系”（如 1 个单位长度代表 1，则原点右侧 2 个单位是 2，左侧 3 个单位是 -3）。 3. 数轴与有理数的关系 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示（“数→点” 的对应）； 数轴上的点不一定都表示有理数（还可以表示无理数，如 π ）。 画数轴的步骤： 画一条水平直线； 在直线中间选一点作为原点，标注 “0”； 规定向右为正方向，画箭头； 选取合适的单位长度（如 1cm 代表 1），在原点右侧依次标注 1、2、3…，左侧依次标注 -1、-2、-3…。 （三）相反数 —— 有理数的 “对称关系” 1. 定义 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数（0 的相反数是 0）； 几何定义：数轴上，位于原点两侧，且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数。 2. 表示方法 数 a 的相反数记为 −a （读作 “负 a”）； 例如：5 的相反数是 −5 ， −3 的相反数是 −(−3)=3 （双重负号得正）。 3. 性质 互为相反数的两个数的和为 0（若 a 与 b 互为相反数，则 a+b=0 ）； 相反数是 “成对出现” 的（不能单独说 “-5 是相反数”，应说 “-5 是 5 的相反数”）。 （四）绝对值 —— 有理数的 “距离属性” 1. 定义 代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 用符号表示： ∣a∣= ⎩ ⎨ ⎧ ​ a 0 −a ​ (a>0) (a=0) (a<0) ​ 几何定义：数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值（距离是非负的，因此绝对值一定是非负数）。 2. 核心性质 非负性： ∣a∣≥0 （任何有理数的绝对值都大于或等于 0）； 若 ∣a∣=∣b∣ ，则 a=b 或 a=−b （如 ∣2∣=∣−2∣=2 ）； ∣−a∣=∣a∣ （一个数的相反数的绝对值等于它本身的绝对值）。 实例计算： ∣5∣=5 （正数的绝对值是本身）； ∣−3.2∣=3.2 （负数的绝对值是相反数）； ∣0∣=0 。 （五）有理数大小比较的方法（重点） 1. 数轴比较法（最直观） 法则：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大。 步骤： 画出数轴，将需要比较的有理数在数轴上标出； 观察各点的位置，右侧的数大于左侧的数。 实例：比较 −3 、 1.5 、 −1 、0 的大小 → 数轴上顺序： −3 （左）＜ −1 ＜0＜ 1.5 （右），因此 ＜ ＜ ＜ 。 2. 法则比较法（最常用） 正数＞0＞负数； 两个正数比较：绝对值大的数大（如 ＞ ， ＞ ）； 两个负数比较：绝对值大的数反而小（核心难点！）。 步骤：① 先求两个负数的绝对值；② 比较绝对值的大小；③ 反向得出原数的大小。 实例：比较 −4 和 −2 → ① ∣−4∣=4 ， ∣−2∣=2 ；② ＞ ；③ 因此 ＜ 。 3. 作差法（通用方法） 法则：对于任意两个有理数 a 、 b ： 若 ＞ ，则 ＞ ； 若 a−b=0 ，则 a=b ； 若 ＜ ，则 ＜ 。 实例：比较 2 1 ​ 和 3 1 ​ → ＞ ，因此 ＞ ；比较 −1 和 −2 → ＞ ，因此 ＞ 。 4. 作商法（适用于正数比较） 法则：对于两个正数 a 、 b ： 若 ＞ ，则 ＞ ； 若 b a ​ =1 ，则 a=b ； 若 ＜ ，则 ＜ 。 实例：比较 6 和 4 → ＞ ，因此 ＞ 。 三、易错点与常见误区 绝对值的理解误区：认为 “ ∣a∣=a ”（忽略 a 为负数的情况，正确是 ∣a∣ 是非负数， a 负时 ∣a∣=−a ）； 两个负数比较大小：容易直接比较原数的 “数字部分”，忘记 “绝对值大的反而小”（如误判 ＞ ，实际 ＜ ）； 数轴三要素遗漏：画图时忘记标原点、正方向或单位长度不统一（如原点左侧标 -1、-3，右侧标 1、2，单位长度不一致）； 有理数分类错误：将小数单独列为一类（如认为 0.2 不是分数，实际 0.2= 5 1 ​ 是分数，属于有理数）。