七年级数学 / 有理数的运算 / 有理数的乘方 一、学习目标 理解有理数乘方的定义，掌握乘方的表示方法（底数、指数、幂的概念）。 熟练掌握有理数乘方的运算规则，能准确计算正数、负数、0 的乘方。 掌握有理数混合运算（含乘方）的顺序，解决实际应用问题。 理解科学记数法的定义，能进行数的科学记数法表示与还原。 二、核心知识点解析 （一）乘方的定义与表示方法 1. 定义 求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作： a n （读作 “ a 的 n 次方” 或 “ a 的 n 次幂”）。 2. 各部分名称 底数（ a ）：相同的因数； 指数（ n ）：相同因数的个数（ n 为正整数）； 幂（ a n ）：乘方运算的结果。 3. 举例说明 2×2×2×2=2 4 ：底数是 2，指数是 4，幂是 16（读作 “2 的 4 次方” 或 “2 的 4 次幂”）； (−3)×(−3)×(−3)=(−3) 3 ：底数是 - 3，指数是 3，幂是 - 27； 注意：单独一个数可以看作指数为 1 的乘方，如 5=5 1 （指数 1 通常省略不写）。 （二）有理数乘方的运算规则 1. 符号法则（核心易错点） 正数的任何次幂都是正数； 例： 3 2 =9 ， 2 3 =8 ， 5 4 =625 。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 例： (−2) 3 =−8 （指数 3 是奇数，结果为负）， (−2) 4 =16 （指数 4 是偶数，结果为正）。 0 的任何正整数次幂都是 0； 例： 0 5 =0 ， 0 100 =0 （注意： 0 0 无意义）。 1 的任何次幂都是 1， −1 的奇次幂是 −1 ，偶次幂是 1； 例： 1 2024 =1 ， (−1) 2023 =−1 ， (−1) 2024 =1 。 2. 计算步骤 确定底数的符号和指数的奇偶性； 根据符号法则判断幂的符号； 计算底数绝对值的乘方（即正数的乘方）； 结合符号得出最终结果。 3. 典型例题 计算 (−3) 4 ： 解：指数 4 是偶数，幂为正； 3 4 =81 ，故 (−3) 4 =81 。 计算 −3 4 （注意：无括号，底数是 3）： 解：先算 3 4 =81 ，再添负号，故 −3 4 =−81 。 计算 (− 2 1 ​ ) 3 ： 解：指数 3 是奇数，幂为负； ( 2 1 ​ ) 3 = 8 1 ​ ，故 (− 2 1 ​ ) 3 =− 8 1 ​ 。 （三）有理数的混合运算（含乘方） 1. 运算顺序（必须牢记） 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算（乘除或加减），从左到右依次进行； 如有括号，先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）。 2. 典型例题 计算： −2 2 +(−3)×[(−4) 2 +2]−(−3) 3 ÷3 解：第一步：算乘方： −2 2 =−4 ， (−4) 2 =16 ， (−3) 3 =−27 ；第二步：算括号内： (−4) 2 +2=16+2=18 ；第三步：算乘除： (−3)×18=−54 ， −(−27)÷3=27÷3=9 ；第四步：算加减： −4+(−54)+9=−49 。 （四）科学记数法（乘方的实际应用） 1. 定义 把一个大于 10 的数表示成 a×10 n 的形式（其中 1≤a<10 ， n 是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2. 核心要点 a 的取值范围： 1≤a<10 （必须是一位整数的小数，如 1.23，不能是 12.3 或 0.123）； n 的确定： n= 原数的整数位数 −1 。 3. 举例说明 用科学记数法表示 1230000： 解：原数整数位数是 7，故 n=7−1=6 ， a=1.23 ，即 1230000=1.23×10 6 。 还原 3.05×10 4 ： 解： n=4 ，把 3.05 的小数点向右移动 4 位，即 3.05×10 4 =30500 。 三、易错点警示 底数的符号混淆： 错误： (−2) 2 =−4 （正确结果是 4）， −2 2 =4 （正确结果是 - 4）； 关键：带括号的负数，底数是负数；不带括号的，底数是正数，负号单独计算。 指数与底数的位置颠倒： 错误：把 5 3 读作 “3 的 5 次方”（正确是 “5 的 3 次方”）； 关键：指数在右上角，底数在下方，先读底数再读指数。 混合运算顺序错误： 错误：先算加减再算乘方或乘除； 关键：严格遵循 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”。 科学记数法中 a 或 n 的确定错误： 错误： 12300=123×10 3 （ a=123 不符合 1≤a<10 ）； 关键： a 必须是一位整数开头的小数， n 是原数整数位数减 1。 四、基础练习题 1. 乘方的表示与计算 （1）把下列算式写成乘方形式：① (−5)×(−5)×(−5)×(−5)= ； ② 3 2 ​ × 3 2 ​ × 3 2 ​ = 。 （2）计算下列各题：① 3 3 = ；② (−2) 4 = ；③ −1 5 = ；④ 0 2024 = ；⑤ (− 3 1 ​ ) 2 = ______。 2. 混合运算 计算：（1） 10−(−2) 3 +(−3) 2 ；（2） (−1) 4 +(−2)×[3−(−2) 2 ] 。 3. 科学记数法 （1）用科学记数法表示下列各数：① 567000 = ______；② 123.4 = ______。 （2）还原下列科学记数法表示的数：① 2.05×10 5 = ；② 1.8×10 3 = 。 五、参考答案 1. 乘方的表示与计算 （1）① (−5) 4 ；② ( 3 2 ​ ) 3 ；（2）① 27；② 16；③ -1；④ 0；⑤ 9 1 ​ 。 2. 混合运算 （1） 10−(−8)+9=10+8+9=27 ；（2） 1+(−2)×(3−4)=1+(−2)×(−1)=1+2=3 。 3. 科学记数法 （1）① 5.67×10 5 ；② 1.234×10 2 ；（2）① 205000；② 1800。 六、课堂小结 乘方是相同因数积的运算，核心是区分底数符号和指数奇偶性对结果的影响； 混合运算需严格遵循 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”； 科学记数法是乘方的实际应用，关键是确定 a （ 1≤a<10 ）和 n （整数位数减 1）。