七年级数学 / 代数式 / 列代数式表示数量关系 一、核心概念回顾 代数式定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母也叫做代数式（如：5、a、3x）。 列代数式的核心：将文字描述的数量关系转化为数学符号表达式，关键是找准 “关键词” 对应的运算，明确字母表示的量。 二、列代数式的常见类型与方法（含教材同步场景） 类型 1：和、差、倍、分关系（基础必学） 核心关键词与运算对应： 关键词 对应运算 示例（文字→代数式） 和、加、共 加法（+） 比 x 大 5 的数 → x+5；a 与 b 的和的 2 倍 → 2 (a+b) 差、减、少 减法（-） 比 y 小 3 的数 → y-3；m 的 4 倍比 n 少 2 → 4m = n-2（等式）/ 4m + 2 = n；a 与 b 的差 → a-b（注意顺序） 倍、乘 乘法（×） 3 的 x 倍 → 3x；n 的 2 1 ​ → 2 1 ​ n （数字与字母相乘，数字写在前，乘号省略） 分、除以 除法（÷/ 分数） x 除以 y 的商 → y x ​ （避免写 x÷y）；a 的倒数与 b 的和 → a 1 ​ +b （a≠0） 平方、立方 乘方（ a 2 、 a 3 ） x 的平方加 3 → x 2 +3 ；m 的立方的 2 倍 → 2m 3 易错提醒： “a 比 b 少 3”≠“b 比 a 少 3”，前者是 a = b-3，后者是 b = a-3； 分数形式优先于除法符号（如 “x 与 2 的商” 写 2 x ​ ，不写 x÷2）。 类型 2：几何图形中的数量关系（教材高频场景） 核心思路：先回忆图形公式，再用字母表示未知量 图形 数量关系（文字描述） 代数式（设未知量为字母） 长方形 长为 a，宽为 b，周长；面积 周长：2 (a+b)；面积：ab 正方形 边长为 x，周长；面积；对角线长（√2 倍边长） 周长：4x；面积： x 2 ；对角线： 2 ​ x （七年级后期接触） 三角形 底为 m，高为 h，面积 面积： 2 1 ​ mh 圆 半径为 r，周长（2πr）；面积（πr²） 周长： 2πr ；面积： πr 2 （π 为常数，保留即可） 长方体 长 a、宽 b、高 c，体积；表面积 体积：abc；表面积：2 (ab+bc+ac) 示例： 一个长方形的长比宽多 2cm，设宽为 x cm，则长为（x+2）cm，周长为 2 [x + (x+2)] = 4x + 4（cm），面积为 x (x+2)（cm²）。 类型 3：实际应用场景（行程、工程、价格等） 1. 行程问题（路程 = 速度 × 时间） 文字描述 代数式（设关键量为字母） 甲的速度为 v km/h，乙的速度比甲快 3 km/h，2 小时后甲、乙的路程和 甲的路程：2v；乙的速度：(v+3)；乙的路程：2 (v+3)；路程和：2v + 2 (v+3) = 4v + 6 路程 s km，速度为 v km/h，比原计划提前 1 小时到达，原计划时间 实际时间： v s ​ ；原计划时间： v s ​ +1 （小时） 2. 价格问题（总价 = 单价 × 数量） 文字描述 代数式（设关键量为字母） 苹果单价为 a 元 / 千克，梨单价为 b 元 / 千克，买 3kg 苹果和 2kg 梨的总价 3a + 2b（元） 一件商品原价 x 元，打 8 折后的售价；再降价 5 元后的售价 8 折售价：0.8x（元）；再降价后：0.8x - 5（元） 3. 工程问题（工作量 = 工作效率 × 时间） 文字描述 代数式（设关键量为字母） 甲单独完成一项工程需 x 天，甲的工作效率；乙的效率是甲的 2 倍，乙的效率 甲的效率： x 1 ​ （工程总量视为 1）；乙的效率： x 2 ​ 甲、乙合作 3 天的工作量 3( x 1 ​ + x 2 ​ ) = x 9 ​ 4. 数字问题（个位、十位、百位数字关系） 文字描述 代数式（设关键量为字母） 一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b，这个两位数 10a + b（如：十位 3、个位 5，即 3×10 + 5 = 35） 这个两位数的 3 倍与 5 的和 3(10a + b) + 5 类型 4：含 “多个条件” 的复杂数量关系 核心方法：分步拆解，先表示 “中间量”，再表示最终关系 示例： 文字描述：“x 的 3 倍与 y 的一半的差，再加上 z 的平方”分步拆解：①x 的 3 倍→3x；②y 的一半→ 2 y ​ ；③两者的差→3x - 2 y ​ ；④加上 z 的平方→ 3x− 2 y ​ +z 2 。 文字描述：“比 m 的 2 倍大 5 的数，与 n 的差的倒数”分步拆解：①m 的 2 倍→2m；②大 5→2m + 5；③与 n 的差→(2m + 5) - n；④倒数→ (2m+5)−n 1 ​ （注意：分母不能为 0，即 2m + 5 ≠ n）。 三、列代数式的易错点与注意事项（教材同步提醒） 运算顺序要准确： “a 与 b 的和的平方”≠“a 的平方与 b 的平方的和”，前者是 (a+b) 2 ，后者是 a 2 +b 2 ； “a 除以 b 与 c 的积”≠“a 除以 b 的商与 c 的积”，前者是 bc a ​ ，后者是 b a ​ ⋅c 。 字母与数字、字母与字母相乘的规则： 数字写在字母前面（如：3x，不写 x3）； 乘号省略或用 “・” 表示（如：ab，不写 a×b；3・a，可写 3a）； 带分数与字母相乘，要化为假分数（如： 2 2 1 ​ x 应写 2 5 ​ x ）。 单位的处理： 代数式后带单位时，若代数式是和、差形式，需加括号（如：(x+5) cm，不写 x+5cm）； 若为积、商形式，直接加单位（如：3x kg， v s ​ 小时）。 分母不能为 0： 涉及除法或分数时，字母的取值要保证分母不为 0（如： x−2 1 ​ 中，x≠2）。 区分 “代数式” 与 “等式 / 不等式”： 代数式不含 “=”“>”“<” 等符号（如：3x+2 是代数式，3x+2=5 是等式）。 四、典型例题解析（教材同步难度） 例题 1：基础和差倍分 用代数式表示：（1）比 a 的相反数小 5 的数；（2）x 的 3 2 ​ 与 y 的 3 倍的和；（3）m 与 n 的差的平方的 4 1 ​ 。 解析：（1）a 的相反数是 −a ，小 5 即 −a−5 ；（2）x 的 3 2 ​ 是 3 2 ​ x ，y 的 3 倍是 3y ，和为 3 2 ​ x+3y ；（3）m 与 n 的差是 m−n ，平方是 (m−n) 2 ， 4 1 ​ 即 4 1 ​ (m−n) 2 。 例题 2：几何图形应用 一个梯形的上底长为 a cm，下底长是上底的 2 倍多 1 cm，高为 h cm，求这个梯形的面积。 解析： 下底长： 2a+1 （cm）； 梯形面积公式： 2 1 ​ （上底 + 下底）× 高； 代数式： 2 1 ​ [a+(2a+1)]⋅h= 2 1 ​ (3a+1)h= 2 3 ​ ah+ 2 1 ​ h （cm²）。 例题 3：实际应用 某商场推出优惠活动：购物满 300 元减 50 元，不满 300 元不优惠。设某顾客购物金额为 x 元（x 为正整数），用代数式表示顾客实际支付的金额。 解析： 当 x ≥ 300 时，实际支付： x−50 （元）； 当 x < 300 时，实际支付： x （元）； 综合： 为 正 整 数 为 正 整 数 。 五、分层练习题（对应教材课后练习难度） 基础题（必做） 用代数式表示：（1）a 的 3 倍与 4 的和；（2）比 x 小 5 1 ​ 的数；（3）n 的平方与 m 的 3 1 ​ 的差；（4）长方形的长为 x，宽为 y，周长的 2 1 ​ 。 一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，用代数式表示这个三位数。 提高题（选做） 甲、乙两人从相距 s km 的两地同时出发，相向而行，甲的速度为 v km/h，乙的速度为 (u + 2) km/h，经过 t 小时两人相遇，用代数式表示 t，并说明字母的取值范围。 某工厂第一年的产值为 a 万元，第二年比第一年增长了 10%，第三年又比第二年增长了 10%，用代数式表示第三年的产值。 答案提示 基础题： （1） 3a+4 ；（2） x− 5 1 ​ x= 5 4 ​ x ；（3） n 2 − 3 1 ​ m ；（4） 2 1 ​ ×2(x+y)=x+y ； 100a+10b+c 。 提高题： t= v+(u+2) s ​ = v+u+2 s ​ （s、v、u 均为正数）； 第二年产值： a(1+10%)=1.1a ，第三年产值： 1.1a(1+10%)=1.21a （万元）。 六、总结 列代数式的 “三步法”： 找关键词：识别 “和、差、倍、分、平方、比…… 多 / 少” 等运算提示词； 定顺序：根据文字描述确定运算顺序（先算什么，再算什么，必要时用括号）； 写符号：将文字转化为字母、数字和运算符号，遵循代数式书写规则。