七年级数学・一元一次方程・实际问题与一元一次方程 本小节是一元一次方程知识的实际应用核心，重点考查从实际场景中抽象等量关系、建立方程并求解的能力，也是七年级数学的高频考点。以下为结构化的知识梳理和典型题型解析： 一、解实际问题的通用步骤 解一元一次方程实际问题需遵循 “审、设、列、解、检、答” 六步法，其中找等量关系是核心关键： 审：审题，梳理题干中的已知量、未知量，明确各量之间的数量关系； 设：设未知数，可直接设（求什么设什么）或间接设（设与所求量相关的中间量）； 列：根据等量关系列出一元一次方程； 解：按照一元一次方程的解法求出未知数的值； 检：检验解是否满足方程，且是否符合实际问题的意义（如人数不能为负数、长度不能为小数等）； 答：写出完整的答案，注意带单位。 二、常见实际问题类型及解法 1. 和差倍分问题 核心公式 / 关系 和差关系：大数 = 小数 + 差；和 = 大数 + 小数 倍分关系：总量 = 倍数 × 分量；分量 = 总量 ÷ 倍数 典型例题 例：某班共有学生 48 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 15 人，求该班男、女生各有多少人？解：① 设女生有 x 人，则男生有 (2x−15) 人；② 等量关系：男生人数 + 女生人数 = 总人数；③ 列方程： x+(2x−15)=48 ；④ 解方程： 3x=63 ，得 x=21 ；⑤ 检验： x=21 符合实际，男生人数为 2×21−15=27 人， 21+27=48 ，与总人数一致；⑥ 答：该班女生 21 人，男生 27 人。 2. 行程问题 核心公式 基本公式：路程 = 速度 × 时间（ s=vt ），变形得 v= t s ​ 、 t= v s ​ 常见模型： 相遇问题：总路程 = 甲路程 + 乙路程 追及问题：路程差 = 快者路程 - 慢者路程（同地不同时）；路程差 = 初始距离（同时不同地） 顺水 / 逆水问题：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 典型例题 例：甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，A、B 两地相距 360km，甲车速度为 60km/h，乙车速度为 40km/h，问出发后几小时两车相遇？解：① 设出发后 t 小时两车相遇；② 等量关系：甲行驶路程 + 乙行驶路程 = 总路程；③ 列方程： 60t+40t=360 ；④ 解方程： 100t=360 ，得 t=3.6 ；⑤ 检验： t=3.6 符合时间的实际意义， 60×3.6+40×3.6=360 ，与总路程一致；⑥ 答：出发后 3.6 小时两车相遇。 3. 工程问题 核心公式 基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 常用假设：若未明确总工作量，可设总工作量为1，则单人 / 单设备的工作效率为 完 成 总 工 作 的 时 间 典型例题 例：一项工程，甲单独做需 10 天完成，乙单独做需 15 天完成，现甲先做 2 天，再由甲、乙合作完成剩余工程，问甲、乙合作还需几天？解：① 设甲、乙合作还需 x 天；② 等量关系：甲先做工作量 + 甲乙合作工作量 = 总工作量（设为 1）；③ 甲效率为 10 1 ​ ，乙效率为 15 1 ​ ，列方程： 10 1 ​ ×2+( 10 1 ​ + 15 1 ​ )x=1 ；④ 解方程： 5 1 ​ + 6 1 ​ x=1 ， 6 1 ​ x= 5 4 ​ ，得 x= 5 24 ​ =4.8 ；⑤ 检验： x=4.8 符合实际，总工作量为 10 2 ​ + 10 4.8 ​ + 15 4.8 ​ =1 ，符合假设；⑥ 答：甲、乙合作还需 4.8 天。 4. 利润与折扣问题 核心公式 利润 = 售价 - 进价（成本） 利润率 = 利 润 进 价 折扣价 = 标价 × 折扣（如 8 折即 ×0.8） 典型例题 例：某商品进价为 200 元，标价为 300 元，现商场打折促销，要保证利润率不低于 5%，则该商品最多可打几折？解：① 设该商品打 x 折；② 等量关系：售价 - 进价 ≥ 进价 ×5%；③ 售价为 300× 10 x ​ ，列不等式方程： 300× 10 x ​ −200≥200×5% ；④ 解方程： 30x−200≥10 ， 30x≥210 ，得 x≥7 ；⑤ 检验： x=7 时，售价 210 元，利润 10 元，利润率 5%，符合要求；⑥ 答：该商品最多可打 7 折。 5. 配套问题 核心关系 根据产品各部件的配套比例建立等量关系（如 1 个甲部件配 2 个乙部件，则乙部件数量 = 2× 甲部件数量） 典型例题 例：某车间有工人 28 人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓 12 个或螺母 18 个，应分配多少人生产螺栓、多少人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母按 1:2 配套？解：① 设分配 x 人生产螺栓，则 (28−x) 人生产螺母；② 等量关系：螺母数量 = 2× 螺栓数量；③ 列方程： 18(28−x)=2×12x ；④ 解方程： 504−18x=24x ， 42x=504 ，得 x=12 ；⑤ 检验： x=12 时，生产螺栓 144 个，生产螺母 18×16=288 个， 288=2×144 ，符合配套比例；⑥ 答：应分配 12 人生产螺栓，16 人生产螺母。 三、常见易错点总结 单位不统一：如行程问题中速度单位是 km/h，时间却用分钟，需先统一单位； 设未知数带单位：设未知数时不能写 “设 x 千米”，应写 “设路程为 x 千米”； 忽略实际意义：解得的未知数为负数或小数（如人数、物品个数），需舍去并重新检查； 利润问题混淆基数：利润率的计算基数是进价，而非标价或售价。 四、基础巩固练习 一个数的 3 倍减去 5 等于这个数的 2 倍加 1，求这个数； 甲从 A 地到 B 地需 3 小时，乙从 B 地到 A 地需 2 小时，若甲、乙同时出发，相向而行，多久后相遇？ 某商品按进价提高 40% 后标价，再打 8 折销售，售价为 224 元，求该商品的进价。