容斥原理：某班有68人,参加足球兴趣小组的有32人,参加排球兴趣小组的有30人,如果两个兴趣小组都没有参加的有25人,那么同时参加足球、排球两个兴趣小组的有多少人? 一、题型判断：容斥原理问题（小学奥数 “两集合容斥原理” 子类） 这类题型的核心是解决两个集合的重叠部分计算，通过 “总人数、未参与人数、两个集合单独参与人数” 的关系，推导同时属于两个集合的人数。解题关键是先明确 “至少参与一个集合的人数”，再利用 “两集合总和 - 重叠人数 = 至少参与一个集合的人数” 的逻辑，本质是 “避免重复计算重叠部分”。 二、解题过程（分 2 步：求参与总人数→求重叠人数） 已知条件： 全班总人数 = 68 人； 两个小组都未参加的人数 = 25 人； 参加足球小组（A）= 32 人，参加排球小组（B）= 30 人； 求：同时参加两个小组的人数（记为 x）。 核心逻辑：先算出 “至少参加一个兴趣小组的人数”，再用两集合容斥原理公式反向求重叠人数。 步骤 1：计算至少参加一个兴趣小组的人数 总人数由 “至少参加一个小组的人” 和 “都未参加的人” 组成，因此：至少参加一个小组的人数 = 总人数 - 都未参加的人数= 68 - 25 = 43 人。 步骤 2：用容斥原理公式求重叠人数 x 两集合容斥原理核心公式（避免重复计算）：参加足球的人数 + 参加排球的人数 - 同时参加的人数 = 至少参加一个小组的人数代入数据列等式：32 + 30 - x = 43 化简计算：62 - x = 43x = 62 - 43 = 19 人。 三、反推验证（核对所有条件，逻辑闭环） 重叠人数验证：参加足球和排球的总人数为 32+30=62 人，其中重叠部分被多算了 1 次，减去重叠人数 19 人，得到实际参与至少一个小组的人数 = 62-19=43 人 ✔️； 总人数验证：至少参与一个小组的 43 人 + 都未参与的 25 人 = 68 人，与全班总人数一致 ✔️； 细分人数验证：只参加足球的人数 = 32-19=13 人，只参加排球的人数 = 30-19=11 人，同时参加的 19 人，都未参加的 25 人，13+11+19+25=68 人，无重复、无遗漏 ✔️。 四、最终结果 同时参加足球、排球两个兴趣小组的有 19 人。