容斥原理在1到100的全部自然数中,既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个? 一、题型判断：容斥原理问题（小学奥数 “两集合容斥原理 + 数的倍数” 子类） 这类题型的核心是先找出 “1 到 100 中是 8 的倍数或 5 的倍数的数的总个数”，再用总数减去这个数，得到 “既不是 8 的倍数也不是 5 的倍数的数的个数” 。解题关键是利用容斥原理避免重复计算 “既是 8 的倍数又是 5 的倍数” 的数，本质是 “集合重叠思想在数的倍数问题中的应用”。 二、解题过程（分 4 步：找倍数个数→算重叠个数→求符合条件的倍数总数→求目标个数） 已知条件： 范围：1 到 100 的全部自然数（总个数 = 100 个）； 核心问题：求 “既不是 8 的倍数也不是 5 的倍数” 的数的个数； 解题逻辑：总个数 - （是 8 的倍数的数的个数 + 是 5 的倍数的数的个数 - 既是 8 又是 5 的倍数的数的个数）= 目标个数（避免重复计算重叠部分）。 步骤 1：计算 1 到 100 中是 8 的倍数的数的个数（记为 A） 用 “去尾法” 计算（只取整数部分，不四舍五入）：100÷8=12.5 → 取整数 12 个（分别是 8、16、24、…、96）；即 A=12。 步骤 2：计算 1 到 100 中是 5 的倍数的数的个数（记为 B） 同理，100÷5=20 → 刚好是整数，共 20 个（分别是 5、10、15、…、100）；即 B=20。 步骤 3：计算 1 到 100 中既是 8 的倍数又是 5 的倍数的数的个数（记为 A∩B，即重叠个数） 既是 8 的倍数又是 5 的倍数，说明是 8 和 5 的最小公倍数的倍数；8 和 5 互质，最小公倍数 = 8×5=40；因此，只需计算 1 到 100 中是 40 的倍数的数的个数：100÷40=2.5 → 取整数 2 个（分别是 40、80）；即 A∩B=2。 步骤 4：计算 “既不是 8 的倍数也不是 5 的倍数” 的数的个数 根据容斥原理，先求 “是 8 的倍数或 5 的倍数” 的数的总个数：A + B - A∩B=12+20-2=30 个；再用 1 到 100 的总个数减去这个数，得到目标个数：100 - 30=70 个。 三、反推验证（核对所有计算，逻辑闭环） 倍数个数验证： 8 的倍数有 12 个（8×1 到 8×12），5 的倍数有 20 个（5×1 到 5×20），重叠的 40 的倍数有 2 个（40×1、40×2），无遗漏、无重复 ✔️； “是 8 或 5 的倍数” 的总数验证：12+20-2=30 个，计算正确 ✔️； 目标个数验证：100（总个数）-30（是 8 或 5 的倍数的个数）=70 个，反向核对：若既不是 8 也不是 5 的倍数有 70 个，加上 30 个符合倍数条件的数，总数 = 70+30=100，与 1 到 100 的自然数总数一致 ✔️； 实例验证：随机抽取 1-10 的数，既不是 8 也不是 5 的倍数的有 1、2、3、4、6、7、9，共 7 个；用公式计算 1-10 中：8 的倍数 1 个（8），5 的倍数 1 个（5），重叠 0 个，总数 10-（1+1-0）=8？不对，1-10 中既不是 8 也不是 5 的倍数的是 1、2、3、4、6、7、9，共 7 个，哦，遗漏了 10 是 5 的倍数，所以 1-10 中符合倍数条件的是 5、8、10，共 3 个，10-3=7，与公式计算（1+2-0=3，10-3=7）一致，说明公式应用正确 ✔️。 四、最终结果 在 1 到 100 的全部自然数中，既不是 8 的倍数也不是 5 的倍数的数有 70 个。