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恒卦——持久之道：恒德的价值与变通的智慧 一、咸恒相续的逻辑 1. 序卦链条：“夫妇之道不可以不久也，故受之以恒” 咸：感而相合（婚姻的开始） 恒：久而不易（婚姻的维系） 金景芳指出：这体现《周易》“既重始，尤重终”的思想 2. 卦象反转的深意 咸卦（泽山咸）：女上男下，求感之象 恒卦（雷风恒）：男上女下，定位之象 反映古代家庭伦理的稳定结构 二、恒卦（雷风恒）卦象的多重象征 1. 基本卦象 上震（雷）下巽（风）：雷风相薄，相助而久 金景芳分析： 震为长男，巽为长女：男女正位（与咸卦少男少女对比，成熟稳定） 震为动，巽为顺：顺而动，动而顺，持久之道 雷风皆属木，同性相协 2. 与咸卦的阴阳对比 text 咸卦：兑(阴)上艮(阳)下 → 女上男下 → 求合之象 恒卦：震(阳)上巽(阴)下 → 男上女下 → 定位之象 体现“始合”与“久成”的不同阶段要求 三、彖传精解：恒之三义 1. “恒，久也” 直接定义，简单明确 2. “刚上而柔下，雷风相与，巽而动，刚柔皆应，恒” 卦象结构分析： “刚上柔下”：震刚在上，巽柔在下（正位） “雷风相与”：雷风相助不相悖（关系和谐） “巽而动”：顺而后动（方法得当） “刚柔皆应”：初与四、二与五、三与上皆阴阳正应（爻位完美） 金景芳强调：恒卦具备所有理想条件，故能恒久 3. “恒，亨，无咎，利贞，久于其道也” 解释卦辞“亨，无咎，利贞，利有攸往” 重点“久于其道”： 不是僵化不变，而是持久地遵循正道 “道”：天地人伦的常理 4. “天地之道，恒久而不已也” 以天道证人道：日月运行、四季更替，恒久而生生不息 金景芳哲学阐发： 恒中有变（日月运行但每日位置不同） 变中有恒（规律不变） 对比《系辞》“易穷则变，变则通，通则久” 5. “利有攸往，终则有始也” 解释为何能“利有攸往”（利于前往） 关键思想：恒久不是静止，是动态平衡 “终则有始”：旧过程结束，新过程开始（如冬去春来） 循环往复中的永恒 6. “日月得天而能久照，四时变化而能久成，圣人久于其道而天下化成” 三重论证： 日月：得天之体而久照 四时：变化之序而久成 圣人：守道不移而天下化 金景芳升华：将物理之恒、时序之恒、人文之恒统一 7. “观其所恒，而天地万物之情可见矣” 与咸卦彖传“观其所感...”形成对仗 总结：通过观察恒久现象，认识万物本质 四、大象传的现实转化 “雷风，恒。君子以立不易方” 1. “立不易方”详解 “立”：立身、立志、立道 “不易方”：不改变原则、方向 金景芳阐发： 《论语》“三十而立”之“立” 《中庸》“中立而不倚” 君子之恒：原则坚定，方法灵活（与“不易方”相对的是“权变”） 2. 历史例证：伯夷叔齐“不食周粟”（立不易方的极端体现） 五、爻辞精析：恒久的不同境遇 恒卦的特殊性：卦辞极吉（亨、无咎、利贞、利有攸往），但爻辞多不吉，揭示“恒”之难 1. 初六：浚恒，贞凶，无攸利 “浚”：深挖，引申为过分追求 “浚恒”：急于求恒，反而不得 爻象分析：初六阴居阳位，不当位；上应九四，但处巽下（过柔） 金景芳警示：恒道贵自然渐进，不可强求速成 2. 九二：悔亡 简短二字，意味深长 爻位精析：九二阳居阴位，本不当位应有悔，但因： 居下卦之中（得中） 与六五正应（得君） 处巽体（能顺） 故“悔亡”（悔恨消失） 3. 九三：不恒其德，或承之羞，贞吝 全卦关键警示句 “不恒其德”：不能持久保持美德 “或承之羞”：或许要蒙受羞辱 金景芳重点阐发： 引孔子语：“南人有言曰：‘人而无恒，不可以作巫医。’善夫！”（《论语·子路》） 德不恒则无所成 九三阳居阳位，过刚不中，处下卦顶，躁进易变 4. 九四：田无禽 田猎无获 象征：居非其位，劳而无功 爻位分析：九四阳居阴位，不当位；处震初，虽动而无应 5. 六五：恒其德，贞。妇人吉，夫子凶 最具争议的爻辞 “恒其德”：持久保持柔顺之德 “妇人吉”：对妻子吉（因合柔道） “夫子凶”：对丈夫凶（因夫子当刚断） 金景芳历史解释： 非性别歧视，而是角色分工 六五阴居尊位，如女主当朝（吕后、武则天），需刚而用柔 夫子（男性）在此位若一味柔顺则凶 6. 上六：振恒，凶 “振”：动荡、摇动 “振恒”：动摇恒道 爻位分析：上六处卦终，震极，动荡不安 象征：久极生变，变而失恒 六、恒卦的辩证思维 1. “恒”与“变”的统一 卦象：雷动风行，本质是变，却能恒久 彖传：“四时变化而能久成” 金景芳总结：真正的恒是“动态平衡”，不是死守不变 2. “恒德”的具体性 初六：不可“浚恒”（强求） 九三：最忌“不恒其德” 六五：“恒德”因位而异 上六：警惕“振恒”（动摇） 3. 与咸卦的呼应 咸卦：感而能通，重在心诚 恒卦：恒而能久，重在守道 共同构成人际关系的完整哲学 七、历史与现实应用 1. 政治领域： 政策需稳定性（恒），但需适时调整（变） 商鞅变法“徙木立信”建立“恒信” 2. 个人修养： 立志需恒（“立不易方”） 但方法需灵活（避免“浚恒”） 3. 金景芳联系儒家经典： 《中庸》：“故至诚无息...不息则久” 《孟子》：“虽有智慧，不如乘势；虽有镃基，不如待时” → 恒需待时 八、本课（21-22课）总论：咸恒之道与人伦基石 1. 作为下经纲领的意义 咸：始—感通—仁（亲亲） 恒：终—持久—义（尊尊） 奠定儒家伦理的“仁-义”结构基础 2. 哲学提升 从男女之感→天地之感（宇宙论） 从夫妇之恒→圣人之道（政治哲学） 体现《周易》“近取诸身，远取诸物”的思维方法 3. 学习要点 背诵咸恒二卦彖传全文，理解对应关系 掌握咸卦爻辞的身体隐喻系统 理解“恒”的辩证法：恒中有变，变中求恒 思考：现代社会如何实践“虚受人”与“立不易方”？ 4. 延伸阅读建议 对照阅读《中庸》“致中和”与咸卦感通思想 对照阅读《孟子》“恒产恒心”论与恒卦思想 研究《诗经》婚恋诗与咸卦的印证关系 通过这两课的深入学习，您将把握《周易》下经的人伦起点，理解儒家“修身齐家”的易学根基，为后续学习家人、睽、损、益等社会人伦卦奠定坚实基础。金景芳先生对咸恒二卦的解读，展现了义理派易学由微观到宏观、由具体到抽象的哲学功力。
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咸卦——交感感通：人伦的起点与政治的隐喻 一、下经之始的定位：从天到人的转换 1. 上经与下经的分野 上经三十卦：以乾坤始，以坎离终，重在“天道”——宇宙生成、万物化育、自然规律 下经三十四卦：以咸恒始，以既济未济终，重在“人道”——夫妇人伦、社会关系、道德实践 金景芳特别强调：这种划分非随意，反映《周易》“推天道以明人事”的哲学架构 2. 咸卦为何是下经之首 《序卦传》：“有天地然后有万物，有万物然后有男女，有男女然后有夫妇，有夫妇然后有父子...” 咸卦象少男少女，象征人伦关系的原始起点 从“感应”这一最基础的人际心理现象入手 二、咸卦（泽山咸）卦象的深层解读 1. 卦象结构与象征 上兑（泽）下艮（山）：泽在山下，山气下接，泽气上承，二气交感 金景芳精析： 兑为少女（阴卦），艮为少男（阳卦）：阴阳相感 兑为悦，艮为止：感而能止，有节制之象 泽性润下，山性上承：上下交通之象 2. 卦名“咸”的本义 通“感”，但去“心”旁：强调无心的自然感应 《彖传》“观其所感，而天地万物之情可见矣”：由具体感应见普遍情理 三、彖传逐句精解：感通的哲学 1. “咸，感也” 直接点明卦义，少有的以卦名直训的体例 2. “柔上而刚下，二气感应以相与” 柔上：兑阴卦在上 刚下：艮阳卦在下 金景芳重点阐发： 阴阳二气：非实指物质之气，而是象征两种相反相成的力量、态势 “相与”：相亲相附，不是单向的，而是双向互动 对比否卦“天地不交”，此卦天地交感的微观体现 3. “止而说，男下女” 下艮止，上兑悦：感而有止，乐而不淫 “男下女”：少男在少女之下，象征求婚时的礼仪（男先下于女） 金景芳引《诗经》“亲迎于渭”说明周代婚仪 非男尊女卑，而是“下以礼求”的文明表现 4. “天地感而万物化生，圣人感人心而天下和平” 金景芳哲学升华： 由男女之感推至天地之感：宇宙生成论 由个人之感推至圣人之感：政治哲学 “感人心”：非权术，是至诚感通（如尧舜“光被四表”） 5. “观其所感，而天地万物之情可见矣” 总括：从感应现象可以认识万物的本性、实情 这是《周易》重要的认识论命题 四、大象传的现实转化 “山上有泽，咸。君子以虚受人” 1. “虚受人”的深意 山体坚实却能容泽水：象征虚心包容 金景芳阐发： “虚”：不是空虚，而是无成见、无私欲的心理状态 《尚书》“有容德乃大”，《老子》“致虚极” 君子修身：先虚其心，方能感通人事、物情 2. 政治应用：君主虚心纳谏（如唐太宗与魏征） 五、爻辞精析：身体感应与情感发展 咸卦爻辞的独特之处：以人体部位比喻感应过程，从下到上，由浅入深 1. 初六：咸其拇 “拇”：脚拇指，最末微的感应 象征：情感初萌，意向未定 爻象：阴居阳位，不当位且与九四正应：感而不深 2. 六二：咸其腓，凶，居吉 “腓”：小腿肚，开始主动 “凶”：躁动则凶（小腿易动） “居吉”：安居则吉 金景芳精解：六二柔中得正，本应吉，但处艮卦中位（主止），若妄动则失本位 3. 九三：咸其股，执其随，往吝 “股”：大腿，被动跟随（股随足动） “执其随”：固执跟随他人（指初六、六二） 爻位分析：九三阳居阳位，过刚不中，处上下卦之间，盲目跟从下二阴爻 4. 九四：贞吉悔亡。憧憧往来，朋从尔思 全卦主爻：处上下卦之交，心位所在（人身中心脏对应第四爻） “贞吉悔亡”：守正则吉，无悔 重点讲解“憧憧往来”： 《系辞》有专章阐发：“天下何思何虑？天下同归而殊途...” 金景芳：私心杂念的感应 vs 自然的天地感应 “朋从尔思”：朋友赞同你的想法（因守正而感通） 5. 九五：咸其脢，无悔 “脢”：背脊肉，感应不敏感的部位 象征：尊者感应迟钝，但无悔（因居尊位，不必如常人敏感） 爻位精析：九五刚中居尊，与六二正应：虽感不深，但得中道 6. 上六：咸其辅颊舌 “辅颊舌”：面部口舌，言辞感应 象征：感应流于言语表面 金景芳警示：上六处卦终，感道穷尽，徒剩空谈 六、咸卦的哲学总结 1. 感应三层次： 初至三爻：身体本能感应 九四：心灵真诚感应（关键转折） 五至上爻：社会、言语层面感应 2. 金景芳对“感通”的政治哲学阐发： 个人：感通是道德修养的基础（“诚于中，形于外”） 政治：圣人“感人心而天下和平”的德治理想 与《中庸》“致中和，天地位焉，万物育焉”相通 3. 学习要点： 背诵《彖传》全文，理解“观其所感而万物之情可见” 思考：现代社会中“虚受人”如何实践？
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探究水的化学变化 一、水的电解：最基本的化学变化 1. 实验探究 实验目的：探究水在通电条件下的变化，认识水的组成。 实验装置：霍夫曼电解器或简易电解装置（两个电极、电源、电解液）。 实验步骤： 在电解器中加入蒸馏水，滴入少量稀硫酸或氢氧化钠（增强导电性）。 接通直流电源，观察电极上的现象。 记录两极产生气体的体积比。 检验生成的气体： 负极气体（体积大）：用燃着的木条检验，气体能燃烧，发出淡蓝色火焰 —— 氢气。 正极气体（体积小）：用带火星的木条检验，木条复燃 —— 氧气。 实验现象： 两极均产生气泡。 负极与正极产生气体体积比约为2:1。 2. 原理与方程式 化学方程式：2H₂O ⟷(通电) 2H₂↑ + O₂↑ 微观解释： 通电时，水分子分解成氢原子和氧原子。 每 2 个氢原子结合成 1 个氢分子（H₂），许多氢分子聚集成氢气。 每 2 个氧原子结合成 1 个氧分子（O₂），许多氧分子聚集成氧气。 实验结论： 水是由氢元素和氧元素组成的化合物。 验证了化学变化的本质：分子分解成原子，原子重新组合成新分子。 二、水参与的其他重要化学变化 1. 水与金属氧化物反应 通式：金属氧化物 + 水 → 碱 典型反应： CaO + H₂O = Ca(OH)₂（生石灰与水反应，放出大量热）现象：白色固体逐渐溶解，放出热量，形成澄清石灰水（氢氧化钙溶液）。 Na₂O + H₂O = 2NaOH现象：固体溶解，剧烈放热，溶液呈强碱性（pH>7）。 应用： 生石灰制熟石灰用于建筑材料。 制备碱性溶液。 2. 水与非金属氧化物反应 通式：非金属氧化物 + 水 → 酸 典型反应： CO₂ + H₂O = H₂CO₃（碳酸）现象：气体溶于水，溶液呈弱酸性（pH<7），能使紫色石蕊试液变红。 SO₂ + H₂O = H₂SO₃（亚硫酸） SO₃ + H₂O = H₂SO₄（硫酸） 特点：生成的酸不稳定，加热易分解：H₂CO₃ ⟷ H₂O + CO₂↑ 3. 水与某些金属反应（选学） 活泼金属 + 水 → 碱 + 氢气 典型反应： 2Na + 2H₂O = 2NaOH + H₂↑现象：钠浮在水面，熔成小球，快速游动，发出 "嘶嘶" 声，产生气体。 Mg + 2H₂O (热) = Mg (OH)₂ + H₂↑ 三、探究水的化学变化的意义 1. 认识物质组成的科学方法 通过电解水和氢气燃烧实验，我们运用元素守恒思想（反应前后元素种类不变），推断出水的组成，这是研究物质组成的重要方法。 2. 理解化学变化的微观本质 水的化学变化揭示了：化学变化中分子可分，原子不可分。这一原理是理解所有化学反应的基础。 3. 联系生活，解决实际问题 解释生石灰发热、酸雨形成等现象。 理解水在自然界的循环与净化过程。 为后续学习酸、碱、盐的性质和反应奠定基础。 四、总结与拓展 水的化学变化总结： 反应类型 典型反应 现象 应用 电解反应 2H₂O→2H₂↑+O₂↑ 两极产气，体积比 2:1 制氢气、氧气 与金属氧化物 CaO+H₂O→Ca(OH)₂ 放热，形成碱溶液 制熟石灰 与非金属氧化物 CO₂+H₂O→H₂CO₃ 形成酸性溶液 解释酸雨成因 拓展探究方向： 设计实验探究水的纯度对电解速率的影响。 研究不同金属氧化物与水反应的剧烈程度差异。 调查生活中利用水的化学变化的实例（如食品加工、环境治理）。
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探究水的奥秘：水的净化与水质检测 一、水的净化方法 1. 沉淀法 原理：让水中不溶性杂质在重力作用下沉降 静置沉淀：简单静置，使大颗粒杂质自然沉降 吸附沉淀：加入絮凝剂 (如明矾)，生成胶状物吸附悬浮杂质加速沉降 2. 过滤法 原理：分离不溶性固体与液体 操作要点："一贴二低三靠" 一贴：滤纸紧贴漏斗内壁 (湿润赶气泡) 二低：滤纸边缘低于漏斗边缘；液面低于滤纸边缘 三靠：烧杯靠玻璃棒；玻璃棒靠三层滤纸；漏斗下端靠烧杯内壁 适用：除去水中不溶性杂质 (如泥沙) 3. 吸附法 原理：利用活性炭等多孔材料吸附色素、异味和部分可溶性杂质 活性炭具有疏松多孔结构，表面积大，吸附能力强 可除去水中的颜色、臭味和残留小颗粒 4. 蒸馏法 原理：利用水与杂质沸点差异 (水 100℃)，蒸发后冷凝收集纯水 装置：蒸馏烧瓶、温度计、冷凝管、锥形瓶 注意：加碎瓷片防暴沸；冷水逆向流动增强冷凝效果 特点：净化程度最高，可除去所有杂质，得到纯净物 5. 消毒杀菌 原理：利用杀菌剂 (如氯气、二氧化氯) 的强氧化性杀死水中细菌和微生物 净化效果对比 方法 净化程度 除去杂质类型 净化后水的性质 沉淀 低 大颗粒不溶性杂质 混合物 过滤 中 不溶性杂质 混合物 吸附 中高 色素、异味、部分可溶性杂质 混合物 蒸馏 最高 所有杂质 (包括可溶性) 纯净物 (蒸馏水) 自来水厂净水流程：原水→加絮凝剂→沉淀→过滤→活性炭吸附→消毒→自来水 二、硬水与软水 1. 定义 硬水：含有较多可溶性钙、镁化合物的水 软水：含较少或不含可溶性钙、镁化合物的水 2. 检验方法 肥皂水法：取等量水样，加入等量肥皂水振荡 软水：产生大量泡沫，无浮渣 硬水：泡沫少，易起浮渣 3. 硬水的危害 浪费肥皂 (起泡少) 锅炉中形成水垢，降低热效率，甚至引发爆炸 影响洗涤效果和口感 4. 硬水软化方法 生活中：煮沸 (使钙镁化合物沉淀) 实验室：蒸馏 (可得到几乎纯净的水) 三、自制简易净水器 制作材料与步骤 材料：塑料瓶、纱布、小卵石、石英砂、活性炭、蓬松棉 步骤： 剪去塑料瓶底部，倒置作漏斗 瓶口打孔，安装导管 从下到上依次装入：蓬松棉→活性炭→细沙→粗沙→小卵石→纱布 工作原理： 小卵石、石英砂：过滤较大颗粒杂质 活性炭：吸附色素、异味和部分可溶性杂质 蓬松棉：过滤残留细小杂质 效果检验：将浑浊水样倒入净水器，观察出水是否更清澈、无异味 四、水质检测方法 1. pH 值检测 意义：反映水的酸碱性，饮用水 pH 应在 6.5~8.5 之间 方法： 使用 pH 试纸：用玻璃棒蘸取少量水样滴在试纸上，与标准比色卡对比 使用 pH 计：经标准缓冲溶液校准后直接测量 结果判断：pH<7 酸性；pH=7 中性；pH>7 碱性 2. 硬度检测 意义：衡量水中钙镁离子含量，饮用水硬度应控制在一定范围内 肥皂水法：滴加肥皂水，泡沫少且易起浮渣的为硬水 定量检测：使用 EDTA 络合滴定法测定钙镁离子总量 3. 余氯检测 意义：确保自来水消毒效果，余氯标准为 0.05~2 mg/L 方法：使用 DPD 试剂 (滴入水样显色) 或余氯测试纸，与标准色卡对比 4. 溶解性总固体 (TDS) 检测 意义：反映水中溶解的无机盐总量，限值为 1000 mg/L 方法：使用 TDS 笔直接测量 (插入水中，避免接触容器底部) 5. 其他检测指标 浊度：反映水的清澈程度，可用浊度仪或比浊法测定 电导率：与水中离子浓度成正比，可判断水的纯度 五、总结与实践 净化思路：从低到高逐步净化 (沉淀→过滤→吸附→蒸馏) 沉淀和过滤：主要除去不溶性杂质 吸附：去除色素、异味和部分可溶性杂质 蒸馏：获得几乎纯净的水，是最彻底的净化方法 检测意义：通过水质检测，评估水的安全性和适用性，保障健康 实践建议： 设计实验比较不同水源 (自来水、井水、河水) 的净化效果 自制净水器并测试其对不同污染程度水样的净化能力 检测家庭用水的 pH 值、硬度等指标，提出改善建议 核心知识速记： 四大净化法：沉淀→过滤→吸附→蒸馏 (程度递增) 硬水软水区分：肥皂水检验，泡沫多为软水 水质检测重点：pH 值 (6.5~8.5)、硬度、余氯 (0.05~2 mg/L)
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揭示燃烧奥秘与氧气制取 一、燃烧的本质与条件 燃烧的定义：燃烧是一种发光、放热的剧烈氧化反应。(特征：发光、放热、剧烈、氧化反应) 燃烧三要素（必须同时满足）： 可燃物：能与氧气发生反应的物质（如木材、酒精、蜡烛） 氧气（或空气）：提供氧元素，支持燃烧（助燃剂） 达到着火点：可燃物燃烧所需的最低温度 实验验证： 水中白磷不通氧气不燃烧，通入氧气后剧烈燃烧→证明需要氧气 火柴头 A (常温) 不燃烧，B (加热) 燃烧→证明需要温度达到着火点 燃烧与缓慢氧化区别： 燃烧：剧烈、发光放热（如木炭燃烧） 缓慢氧化：不剧烈、无明显发光（如铁生锈、食物腐败） 二、氧气的性质与用途 物理性质： 无色无味气体，密度比空气略大，不易溶于水 化学性质： 助燃性：支持燃烧，使带火星木条复燃（检验氧气方法） 氧化性：能与多种物质反应（如与木炭、硫、铁等） 典型反应现象： 物质 在空气中燃烧 在氧气中燃烧 木炭 持续红热，无烟无焰 剧烈燃烧，发出白光，生成使澄清石灰水变浑浊的气体 硫 微弱淡蓝色火焰 明亮蓝紫色火焰，生成刺激性气味气体 铁丝 不燃烧 剧烈燃烧，火星四射，生成黑色固体 (Fe₃O₄) 主要用途： 供给呼吸（医疗急救、潜水） 支持燃烧（炼钢、气焊、航天） 反应放热（提供能量） 三、依据需求制取氧气 1. 实验室制取方法对比 方法 药品 反应条件 装置类型 优点 适用场景 高锰酸钾法 高锰酸钾 (紫黑色固体) 加热 固固加热型 操作简单，不需催化剂 需要稳定持续供氧，且有加热条件 过氧化氢法 过氧化氢 (双氧水)+ 二氧化锰 (催化剂) 常温、催化剂 固液不加热型 不需加热，安全，反应可控 需随时控制反应启停，安全性要求高 氯酸钾法 氯酸钾 + 二氧化锰 加热 固固加热型 产氧量大 需要大量氧气且有加热条件 2. 高锰酸钾制取氧气（详细步骤） 反应原理：2KMnO₄ △ K₂MnO₄ + MnO₂ + O₂↑ 实验步骤（谐音记忆："茶庄定点收利息"）： 查：检查装置气密性（导管入水，手握试管，有气泡冒出则气密良好） 装：试管中装入高锰酸钾，管口放一团棉花（防止粉末进入导管） 定：固定装置（试管口略向下倾斜，防止冷凝水倒流炸裂试管） 点：点燃酒精灯，先预热，后集中加热 收：气泡连续均匀冒出时开始收集（先排出的是空气） 排水法：氧气不易溶于水，收集的氧气更纯净 向上排空气法：氧气密度大于空气，收集的氧气更干燥 离：收集完毕，先将导管移出水面 熄：最后熄灭酒精灯（防止水倒吸） 检验与验满： 检验：将带火星木条伸入集气瓶，木条复燃证明是氧气 验满： 排水法：集气瓶口有气泡冒出时已满 向上排空气法：将带火星木条放在瓶口，木条复燃则已满 3. 过氧化氢制取氧气（详细步骤） 反应原理：2H₂O₂ MnO₂ 2H₂O + O₂↑ 实验装置： 发生装置：锥形瓶 (或大试管)+ 长颈漏斗 (或分液漏斗)+ 双孔塞 收集装置：同高锰酸钾法（排水法或向上排空气法） 操作要点： 先在锥形瓶中加入二氧化锰粉末 通过长颈漏斗缓慢加入过氧化氢溶液（控制滴加速度可控制反应速率） 反应剧烈时可暂停滴加，安全性高，不需加热 催化剂特点：改变化学反应速率，反应前后质量和化学性质不变 四、氧气制取方法选择指南 根据特定需求选择合适方法： 若需要安全、不需加热的操作：优先选过氧化氢法 适合学生实验、家庭小实验或缺乏加热设备的场景 若需要稳定持续供氧：可选择高锰酸钾法 反应持续稳定，不需额外添加药品 若需要控制反应启停：选择过氧化氢法+分液漏斗 通过控制液体滴加随时启停反应，节约药品 若需要大量氧气：可选择氯酸钾法（需加热） 相同质量药品产氧量更高 五、氧气与燃烧的关系应用 氧气浓度影响燃烧剧烈程度： 氧气浓度越大，燃烧越剧烈（如硫在氧气中燃烧比空气中剧烈得多） 实际应用： 医疗：氧气瓶提供高浓度氧气，帮助呼吸困难患者 工业：富氧炼钢提高效率，气焊气割需要高纯度氧气 航空航天：液氧作为火箭燃料氧化剂
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七年级数学 几何图形初步 —— 角 一、角的基本概念 定义 从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。 另外，角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，射线旋转时经过的平面部分叫做角的内部，外部则是平面内除了角的内部和边之外的部分。 角的表示方法（共 4 种，需注意规范使用） 用三个大写字母表示：如∠AOB，顶点字母 O 必须写在中间，A、B 分别是两条边上的任意一点，适用于多个角共用顶点的情况。 用一个大写字母表示：如∠O，仅适用于顶点 O 处只有一个角的情况，若顶点处有多个角则不能用此方法。 用数字表示：如∠1，需先在角的内部靠近顶点处标注数字，方便简洁。 用希腊字母表示：如∠α，同样需要先在角的内部标注希腊字母，常见的有 α、β、γ 等。 二、角的度量 度量单位角的基本度量单位是度（°）、分（′）、秒（″），它们的换算关系为： 1° = 60′ 1′ = 60″ 即度、分、秒是六十进制，和时间单位的时、分、秒换算逻辑一致。 度量工具常用工具为量角器，使用时需将量角器的中心与角的顶点重合，0° 刻度线与角的一条边重合，另一条边所对应的刻度即为角的度数。 三、角的分类 根据角的度数大小，可将角分为以下几类： 锐角：大于 0° 且小于 90° 的角，如 30°、65° 的角。 直角：等于 90° 的角，直角通常用 “└” 符号标记，如∠C=90°。 钝角：大于 90° 且小于 180° 的角，如 105°、150° 的角。 平角：等于 180° 的角，此时角的两条边在同一条直线上（但平角不是直线，因为它有顶点和两条边）。 周角：等于 360° 的角，此时射线绕顶点旋转一周回到初始位置（周角不是射线，它是由一条射线旋转形成的）。 四、角的比较与运算 角的比较方法 度量法：用量角器量出两个角的度数，根据度数大小比较。 叠合法：将两个角的顶点重合，一条边重合，观察另一条边的位置，若另一条边在内部则角更小，在外部则角更大。 角的和差运算角的度数可以直接进行加减运算，运算时需注意单位统一，满 60 进 1（加法），借 1 当 60（减法）。例：计算 32°18′ + 21°45′ = 53°63′ = 54°3′；计算 50°12′ - 32°45′ = 49°72′ - 32°45′ = 17°27′。 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC=∠BOC=½∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。 五、余角和补角 余角 定义：如果两个角的和等于 90°（直角），那么这两个角互为余角，简称互余。 性质：同角（或等角）的余角相等。例如，若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3。 补角 定义：如果两个角的和等于 180°（平角），那么这两个角互为补角，简称互补。 性质：同角（或等角）的补角相等。例如，若∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=180°，则∠β=∠γ。 六、方位角（拓展知识点） 在实际生活中，常利用角来表示方向，即方位角。通常以正北或正南方向为基准，描述物体的位置，如 “北偏东 30°”“南偏西 45°”（45° 也可称为 “西北方向”“东南方向” 等）。
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七年级数学 几何图形初步 —— 直线、射线、线段 本小节是几何图形的基础内容，是后续学习角、三角形、四边形等复杂几何图形的前提，核心是掌握三类线的定义、表示方法、性质及相互区别与联系。 一、核心知识点梳理 1. 直线 定义：把线段向两端无限延伸所形成的图形叫做直线，直线没有端点，无法度量长度。 表示方法 用直线上两个点的大写字母表示，如直线 AB （也可写作直线 BA ，字母顺序不影响）； 用一个小写字母表示，如直线 l 。 基本性质：两点确定一条直线。 实例：生活中钉木条时，钉两个钉子就能固定木条，就是利用了这一性质。 2. 射线 定义：把线段向一端无限延伸所形成的图形叫做射线，射线有且只有一个端点，无法度量长度。 表示方法：用端点字母和射线上另一个点的大写字母表示，端点字母必须写在前面，如射线 OA （不能写作射线 AO ，因为端点不同，射线的延伸方向也不同）；也可单独用一个小写字母表示，如射线 m 。 特点：有一个端点，向一端无限延伸，同一端点、不同延伸方向的射线是不同的射线。 3. 线段 定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，线段有两个端点，能够度量长度。 表示方法 用线段的两个端点的大写字母表示，如线段 AB （也可写作线段 BA ）； 用一个小写字母表示，如线段 a 。 基本性质：两点之间，线段最短，两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。 线段的中点：若点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 和 MB ，则点 M 叫做线段 AB 的中点，此时 AM=MB= 2 1 AB 。 二、直线、射线、线段的区别与联系 图形 端点个数 延伸性 能否度量长度 表示方法（示例） 直线 0 个 向两端无限延伸 不能 直线 AB 、直线 l 射线 1 个 向一端无限延伸 不能 射线 OA 、射线 m 线段 2 个 不能延伸（可延长） 能 线段 AB 、线段 a 联系：射线和线段都是直线的一部分；将射线反向延伸、将线段向两端延伸都可得到直线。 三、典型例题解析 例 1 判断下列说法是否正确：（1）直线 AB 和直线 BA 是同一条直线；（2）射线 AB 和射线 BA 是同一条射线；（3）线段 AB 和线段 BA 是同一条线段。 解析（1）正确，直线的表示与字母顺序无关；（2）错误，射线 AB 的端点是 A ，向 B 方向延伸，射线 BA 的端点是 B ，向 A 方向延伸，二者不是同一条射线；（3）正确，线段的表示与字母顺序无关。 例 2 已知线段 AB=8 cm ，点 C 是线段 AB 的中点，求线段 AC 的长度。 解析因为点 C 是 AB 的中点，所以 AC= 2 1 AB ，又 AB=8 cm ，因此 AC=4 cm 。 四、易错点提醒 射线的表示需注意端点字母在前，不能颠倒顺序； 直线和射线无法度量长度，不能说 “画一条长度为 5cm 的直线” 或 “射线 OA 长 3cm”； “两点之间的距离” 指的是线段的长度，不是线段本身。
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七年级数学 几何图形初步 - 几何图形 知识点梳理 本小节是几何学习的入门内容，核心是认识各类几何图形的特征、区分立体与平面图形，以及掌握立体图形的视图和展开图，为后续几何知识学习奠定基础。 一、几何图形的基本概念 几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，统称为几何图形。几何图形只关注物体的形状、大小和位置关系，不考虑颜色、材质等其他属性。 例如：篮球抽象为球体、书本抽象为长方体、三角尺抽象为三角形。 二、立体图形与平面图形 1. 立体图形（几何体） 定义：各部分不都在同一平面内的几何图形，具有一定的空间立体感。常见的立体图形分类及特征如下表： 类别 代表图形 核心特征 柱体 圆柱 有两个大小相等的圆形底面，侧面是曲面，底面与侧面垂直 棱柱（三棱柱、四棱柱等） 有两个全等的多边形底面，侧面是长方形（直棱柱），侧棱平行且相等 锥体 圆锥 有一个圆形底面，一个顶点，侧面是曲面 棱锥（三棱锥、四棱锥等） 有一个多边形底面，侧面是三角形，所有侧面三角形的顶点汇聚于一点 球体 球 整个图形由曲面围成，任意截面为圆形，无顶点和棱 2. 平面图形 定义：各部分都在同一平面内的几何图形。常见平面图形：三角形、正方形、长方形、圆形、五边形、六边形等。 注意：立体图形的某个 “面” 可以是平面图形，例如正方体的每个面都是正方形。 三、从不同方向看立体图形 从不同方向观察立体图形，会得到不同的平面图形，通常从正面、左面、上面三个方向观察，对应的图形分别称为主视图、左视图、俯视图（合称 “三视图”）。 示例：观察正方体，三个视图都是正方形；观察圆柱，主视图和左视图是长方形，俯视图是圆形。 作用：通过三视图可完整还原立体图形的形状，是工程制图、建筑设计的基础。 四、立体图形的展开图 定义：将立体图形的表面沿棱剪开，展开后得到的平面图形，称为该立体图形的展开图。 常见立体图形的展开图特征 正方体展开图：由 6 个正方形组成，共有 11 种基本形式，无 “田” 字格、“凹” 字形结构。 圆柱展开图：由 2 个圆形（上下底面）和 1 个长方形（侧面）组成，长方形的长等于底面圆的周长。 圆锥展开图：由 1 个圆形（底面）和 1 个扇形（侧面）组成，扇形的弧长等于底面圆的周长。 注意事项：不是所有平面图形都能折叠成对应立体图形，需结合立体图形的棱、面数量和位置判断。
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统筹规划：给一块小木板两面刷油漆,每刷一面要1分钟,但必须要等5分钟油漆干了后才能给另一面刷油漆。那么要尽快刷完6块这样的小木板共需多少分钟？ 一、题型判断：统筹规划问题（小学奥数 “时间优化” 子类） 这类题型的核心是通过合理安排操作顺序，最大化利用等待时间（如油漆干燥时间），避免无效等待，从而缩短总耗时。解题关键是 “并行操作”—— 在等待前一步操作完成（如油漆干燥）的同时，进行其他相关操作，本质是 “时间资源的最优分配”。 二、解题过程（分步骤拆解：明确操作规则→设计最优流程→计算总时间） 已知条件： 1 块木板需刷 2 面，每面刷漆耗时 1 分钟； 刷完一面后，需等 5 分钟油漆干燥才能刷另一面； 共 6 块木板，目标：尽快刷完，最短化总时间。 关键逻辑：避免单块木板 “刷完一面后空等 5 分钟” 如果逐块刷（刷完 A1 面→等 5 分钟→刷 A2 面→再刷 B1 面→等 5 分钟→刷 B2 面…），总时间会很长（6×(1+5+1)=42 分钟）。最优策略：刷完一块木板的第一面后，立刻刷下一块木板的第一面，利用后续木板的刷漆时间覆盖前一块的干燥时间，待所有木板第一面刷完后，前几块木板的油漆已干燥，可直接刷第二面。 具体流程（以 6 块木板记为①-⑥为例） 第一步：刷所有木板的第一面（并行利用干燥时间） 第 1 分钟：刷①的正面（①正）； 第 2 分钟：刷②的正面（②正）； 第 3 分钟：刷③的正面（③正）； 第 4 分钟：刷④的正面（④正）； 第 5 分钟：刷⑤的正面（⑤正）； 第 6 分钟：刷⑥的正面（⑥正）；此时，所有木板第一面刷完，耗时 6 分钟。关键：刷完①正后，无需等待，直接刷②正，①正的干燥时间从第 1 分钟结束开始计算，到第 6 分钟结束时，①正已干燥了 5 分钟（满足 “干燥 5 分钟” 的要求），②正干燥了 4 分钟，③正干燥了 3 分钟，④正干燥了 2 分钟，⑤正干燥了 1 分钟，⑥正刚刷完（干燥 0 分钟）。 第二步：刷所有木板的第二面（按干燥顺序刷，无等待） 第 7 分钟：刷①的反面（①反）（①正已干燥 5 分钟，符合要求）； 第 8 分钟：刷②的反面（②反）（②正已干燥 5 分钟，符合要求）； 第 9 分钟：刷③的反面（③反）（③正已干燥 5 分钟，符合要求）； 第 10 分钟：刷④的反面（④反）（④正已干燥 5 分钟，符合要求）； 第 11 分钟：刷⑤的反面（⑤反）（⑤正已干燥 5 分钟，符合要求）； 第 12 分钟：刷⑥的反面（⑥反）（⑥正从第 6 分钟结束开始干燥，到第 12 分钟结束时已干燥 6 分钟，满足要求）； 总时间计算 第一步 6 分钟 + 第二步 6 分钟 = 12 分钟。 三、反推验证（确认流程合理性，无无效等待） 干燥时间验证： ①正刷完时间（第 1 分钟结束）→ ①反刷完时间（第 7 分钟开始），间隔 6 分钟≥5 分钟，干燥充分 ✔️； ②正刷完时间（第 2 分钟结束）→ ②反刷完时间（第 8 分钟开始），间隔 6 分钟≥5 分钟，干燥充分 ✔️； 以此类推，⑥正刷完时间（第 6 分钟结束）→ ⑥反刷完时间（第 12 分钟开始），间隔 6 分钟≥5 分钟，干燥充分 ✔️； 操作连续性验证：整个流程无空等时间，刷漆操作连续进行（第 1-12 分钟均在刷漆，无停顿），最大化利用时间 ✔️； 极限验证：若减少木板数量（如 2 块），按此流程：刷 2 面正面（2 分钟）→ 刷 2 面反面（2 分钟），总时间 4 分钟（刷①正→②正→①反→②反，①正干燥 2 分钟？不，2 块木板时：第 1 分钟①正，第 2 分钟②正，第 3 分钟①反（①正干燥 2 分钟＜5 分钟，需等 3 分钟到第 5 分钟再刷①反，总时间 5+2=7 分钟），但 6 块木板时，刷完 6 面正面刚好耗时 6 分钟，前 5 块木板的干燥时间已满足，无需额外等待，是最优情况 ✔️。 四、最终结果 尽快刷完 6 块小木板共需 12 分钟。
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容斥原理:在200名学生中,参加书法兴趣小组的有110人,参加围棋兴趣小组的有50人,其中两个小组都参加的有30人,那么两个小组都不参加的有多少人? 一、题型判断：容斥原理问题（小学奥数 “两集合容斥原理” 子类） 这类题型的核心是通过 “总人数、两个集合的单独人数、两集合重叠人数”，推导 “两个集合都不参与的人数” 。解题关键是先利用容斥原理求出 “至少参加一个小组的人数”，再用总人数减去该数值，本质是 “集合重叠部分的反向计算应用”。 二、解题过程（分 2 步：求至少参加一个小组的人数→求都不参加的人数） 已知条件： 总人数 = 200 人； 参加书法小组（A）=110 人，参加围棋小组（B）=50 人； 两个小组都参加的人数（A∩B）=30 人； 求：两个小组都不参加的人数（记为 y）。 核心逻辑：总人数 = 至少参加一个小组的人数 + 都不参加的人数，因此先通过容斥原理求 “至少参加一个小组的人数”，再反向求 y。 步骤 1：计算至少参加一个兴趣小组的人数 两集合容斥原理核心公式（避免重复计算重叠部分）：至少参加一个小组的人数 = 参加书法的人数 + 参加围棋的人数 - 两个小组都参加的人数代入数据：110 + 50 - 30 = 130 人。 步骤 2：计算两个小组都不参加的人数 根据总人数的构成关系：都不参加的人数 = 总人数 - 至少参加一个小组的人数代入数据：y = 200 - 130 = 70 人。 三、反推验证（核对所有条件，逻辑闭环） 至少参加一个小组的人数验证：110（书法）+50（围棋）-30（同时参加）=130 人，重叠部分未重复计算，逻辑正确 ✔️； 总人数验证：130（至少参加一个）+70（都不参加）=200 人，与题目总人数一致 ✔️； 细分人数验证：只参加书法的人数 = 110-30=80 人，只参加围棋的人数 = 50-30=20 人，同时参加的 30 人，都不参加的 70 人，80+20+30+70=200 人，无重复、无遗漏 ✔️。 四、最终结果 两个小组都不参加的有 70 人。
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容斥原理在1到100的全部自然数中,既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个? 一、题型判断：容斥原理问题（小学奥数 “两集合容斥原理 + 数的倍数” 子类） 这类题型的核心是先找出 “1 到 100 中是 8 的倍数或 5 的倍数的数的总个数”，再用总数减去这个数，得到 “既不是 8 的倍数也不是 5 的倍数的数的个数” 。解题关键是利用容斥原理避免重复计算 “既是 8 的倍数又是 5 的倍数” 的数，本质是 “集合重叠思想在数的倍数问题中的应用”。 二、解题过程（分 4 步：找倍数个数→算重叠个数→求符合条件的倍数总数→求目标个数） 已知条件： 范围：1 到 100 的全部自然数（总个数 = 100 个）； 核心问题：求 “既不是 8 的倍数也不是 5 的倍数” 的数的个数； 解题逻辑：总个数 - （是 8 的倍数的数的个数 + 是 5 的倍数的数的个数 - 既是 8 又是 5 的倍数的数的个数）= 目标个数（避免重复计算重叠部分）。 步骤 1：计算 1 到 100 中是 8 的倍数的数的个数（记为 A） 用 “去尾法” 计算（只取整数部分，不四舍五入）：100÷8=12.5 → 取整数 12 个（分别是 8、16、24、…、96）；即 A=12。 步骤 2：计算 1 到 100 中是 5 的倍数的数的个数（记为 B） 同理，100÷5=20 → 刚好是整数，共 20 个（分别是 5、10、15、…、100）；即 B=20。 步骤 3：计算 1 到 100 中既是 8 的倍数又是 5 的倍数的数的个数（记为 A∩B，即重叠个数） 既是 8 的倍数又是 5 的倍数，说明是 8 和 5 的最小公倍数的倍数；8 和 5 互质，最小公倍数 = 8×5=40；因此，只需计算 1 到 100 中是 40 的倍数的数的个数：100÷40=2.5 → 取整数 2 个（分别是 40、80）；即 A∩B=2。 步骤 4：计算 “既不是 8 的倍数也不是 5 的倍数” 的数的个数 根据容斥原理，先求 “是 8 的倍数或 5 的倍数” 的数的总个数：A + B - A∩B=12+20-2=30 个；再用 1 到 100 的总个数减去这个数，得到目标个数：100 - 30=70 个。 三、反推验证（核对所有计算，逻辑闭环） 倍数个数验证： 8 的倍数有 12 个（8×1 到 8×12），5 的倍数有 20 个（5×1 到 5×20），重叠的 40 的倍数有 2 个（40×1、40×2），无遗漏、无重复 ✔️； “是 8 或 5 的倍数” 的总数验证：12+20-2=30 个，计算正确 ✔️； 目标个数验证：100（总个数）-30（是 8 或 5 的倍数的个数）=70 个，反向核对：若既不是 8 也不是 5 的倍数有 70 个，加上 30 个符合倍数条件的数，总数 = 70+30=100，与 1 到 100 的自然数总数一致 ✔️； 实例验证：随机抽取 1-10 的数，既不是 8 也不是 5 的倍数的有 1、2、3、4、6、7、9，共 7 个；用公式计算 1-10 中：8 的倍数 1 个（8），5 的倍数 1 个（5），重叠 0 个，总数 10-（1+1-0）=8？不对，1-10 中既不是 8 也不是 5 的倍数的是 1、2、3、4、6、7、9，共 7 个，哦，遗漏了 10 是 5 的倍数，所以 1-10 中符合倍数条件的是 5、8、10，共 3 个，10-3=7，与公式计算（1+2-0=3，10-3=7）一致，说明公式应用正确 ✔️。 四、最终结果 在 1 到 100 的全部自然数中，既不是 8 的倍数也不是 5 的倍数的数有 70 个。
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