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第13：小畜与履卦——蓄积与践行 主要内容： 小畜卦：“风行天上”，讲解小规模蓄积力量的智慧。 履卦：“履虎尾”，讲解谨慎践行礼法、处理危险关系的艺术。
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第11课：战争与和谐——师、比两卦解析 主要内容： 师卦：讲解“贞丈人吉”的统帅原则、“师出以律”的纪律重要性。 比卦：讲解“亲附”之道，分析“比之自内”与“外比之”的区别，以及“比之无首”的后果。
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老师拿出一些红铅笔和绿铅笔分给幼儿园小朋友。每次拿出3支红铅笔,5支绿铅笔送给小朋友，最后剩下20支绿铅笔,红铅笔正好分完。这时老师想起原来绿铅笔是红铅笔的2倍,幼儿园有多少个小朋友? 一、题型判断：盈亏问题延伸（小学奥数 “倍数关系 + 分配剩余” 子类） 这类题型的核心是通过 “两种物品的倍数关系” 和 “分配后的剩余情况”，建立分配量与人数的等式。解题关键是利用 “原有绿铅笔 = 2× 原有红铅笔” 的倍数关系，结合每次分配的数量，推导小朋友的人数，本质是 “倍数思想与分配问题的结合应用”。 二、解题过程（分 3 步：设未知数→列等式→求人数） 已知条件： 每次分配：3 支红铅笔 / 人，5 支绿铅笔 / 人； 分配结果：红铅笔分完（剩余 0），绿铅笔剩余 20 支； 原有数量关系：绿铅笔总数 = 2× 红铅笔总数； 核心逻辑：设小朋友人数为 x，用 x 表示出红、绿铅笔总数，再根据倍数关系列方程。 步骤 1：设未知数 设幼儿园有 x 个小朋友。 步骤 2：用 x 表示红、绿铅笔总数 红铅笔总数：每次分 3 支，正好分完→ 红铅笔总数 = 3x 支； 绿铅笔总数：每次分 5 支，剩余 20 支→ 绿铅笔总数 = 5x + 20 支。 步骤 3：根据倍数关系列方程求解 原有绿铅笔是红铅笔的 2 倍，因此：5x + 20 = 2×3x展开等式：5x + 20 = 6x移项化简：6x - 5x = 20计算结果：x = 20（即小朋友的人数）。 三、反推验证（核对所有条件，确认一致） 红铅笔总数验证：3×20=60 支（分完，无剩余） ✔️； 绿铅笔总数验证：5×20 + 20=120 支 ✔️； 倍数关系验证：绿铅笔 120 支 = 2× 红铅笔 60 支，符合 “绿铅笔是红铅笔的 2 倍” ✔️； 分配结果验证：20 个小朋友，每人分 3 支红铅笔（60 支刚好用完），每人分 5 支绿铅笔（共分 100 支，剩余 20 支），与题目条件完全一致 ✔️。 四、最终结果 幼儿园有 20 个 小朋友。
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抽屉原理：盒子里有6个橘子和4个苹果,要保证一次能拿出两个同样的水果,至少要拿出多少个水果？ 一、题型判断：抽屉原理问题（小学奥数 “最不利原则” 子类） 这类题型的核心是考虑 “最不利的极端情况”—— 即尽可能多地拿出水果，但暂时不满足 “两个同样的水果”，再拿出一个就必然符合要求。解题关键是找到 “最不利情况的最大数量”，本质是 “极端思维在组合问题中的应用”。 二、解题过程（分 2 步：分析最不利情况→计算最少拿出数量） 已知条件： 盒子里有 2 种水果：橘子（6 个）、苹果（4 个）； 要求：保证一次拿出两个同样的水果； 核心逻辑：最不利情况 = 每种水果各拿 1 个（此时再拿 1 个，无论是什么水果，都能凑成两个同样的）。 步骤 1：分析最不利情况 要保证 “两个同样的水果”，先考虑最倒霉的情况 —— 每次拿的水果都不一样：先拿 1 个橘子，再拿 1 个苹果，此时拿了 2 个水果，没有两个同样的，这是 “最不利的最大数量”。 步骤 2：计算最少拿出数量 在最不利情况的基础上，再拿 1 个水果，无论这个水果是橘子还是苹果，都能和之前拿的其中一种凑成两个同样的：最少拿出数量 = 最不利情况数量 + 1=2+1=3 个。 三、反推验证（确认 “保证” 的必然性） 若拿出 2 个水果：可能是 “1 橘 1 苹果”（不满足 “两个同样”），因此 2 个无法保证 ✖️； 若拿出 3 个水果：可能的组合有 “2 橘 1 苹果”“1 橘 2 苹果”，两种情况都至少有两个同样的水果，必然满足要求 ✔️； 逻辑验证：最不利情况已穷尽 “不满足条件的最大数量”，再加 1 个必满足，符合抽屉原理的 “保证性” 要求 ✔️。 四、最终结果 至少要拿出 3 个 水果。
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一、题型判断：逻辑推理问题（小学奥数 “国籍与职业匹配类” 子类） 这类题型的核心是通过 “已知条件中的职业限制、国籍排除关系”，逐步缩小每个对象的国籍范围，最终实现唯一匹配。解题关键是利用 “矛盾关系”（如 A 是医生则不可能是教师对应的国籍）和 “排他性”（一人对应一国、一职），本质是 “排除法在多维度匹配中的应用”。 二、解题过程（分 4 步：整理条件→逐人排除→唯一匹配→验证） 已知条件梳理（国籍：中、日、美、法；职业：医生、教师；每人一国一职）： A 和 中国人 是医生（→ A≠中国人，中国人 = 医生，A = 医生）； B 和 法国人 是教师（→ B≠法国人，法国人 = 教师，B = 教师）； C 和 日本人 职业不同； D 不会看病（→ D≠医生，D = 教师）。 步骤 1：通过职业定国籍的初步排除 从条件 1、2：医生 = 中国人，教师 = 法国人（职业与国籍的固定对应）； 从条件 1、4：A = 医生，D≠医生→ D = 教师； 从条件 2：B = 教师，且 B≠法国人→ 教师有 2 人（B、D），而法国人 = 教师→ 法国人只能是 B 或 D（因 B≠法国人，故 D = 法国人）。 步骤 2：确定 D 的国籍 由步骤 1：D = 教师 + D = 法国人→ D 是法国人。 步骤 3：确定 A 的国籍 A = 医生 = 中国人？不！条件 1：A 和中国人是医生（两人都是医生，故 A≠中国人）； 医生 = 中国人（唯一中国籍医生），A 是医生但不是中国人，且国籍只剩日、美（排除中、法）→ A 只能是日本人或美国人； 条件 3：C 和日本人职业不同→ 先看职业分布：医生 2 人（A、中国人），教师 2 人（B、D = 法国人）； C 的职业：总人数 4 人，医生（A、中国人）、教师（B、D）→ C 只能是医生或教师？再细化： 医生：A（非中国）、中国人（1 人）→ 医生共 2 人； 教师：B、D = 法国人（共 2 人）→ C 的职业 = 医生（因教师已占 2 人）； 条件 3：C 是医生，C 和日本人职业不同→ 日本人≠医生（因 C = 医生，职业相同则矛盾）； 但 A = 医生→ A≠日本人（因日本人≠医生）→ A 只能是美国人（排除中、法、日）。 步骤 4：确定中国人和 C 的国籍 医生 = A（美国人）+ 中国人→ 中国人是另一位医生，剩余国籍：中、日（A = 美，D = 法）； 剩余人：B、C→ 中国人只能是 B 或 C； B = 教师（条件 2），而中国人 = 医生→ B≠中国人→ C 是中国人（医生）； 最后剩余国籍日本→ B 是日本人。 步骤 5：验证条件 3（C 和日本人职业不同） C = 中国人 = 医生，日本人 = B = 教师→ 职业不同，符合条件 ✔️。 三、最终匹配结果 A：美国人（医生） B：日本人（教师） C：中国人（医生） D：法国人（教师）
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逻辑推理问题：A,B,C,D分别是中国、日本、美国和法国人。已知A和中国人是医生;B和法国人是教师;C和日本人职业不同；D不会看病。那么A,B,C,D各是哪国人。正确答案是A是美国人，职业是医生；B是日本人，职业是教师；C是中国人，职业是医生；D是法国人，职业是教师。
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八年级生物 - 生物的进化 - 生物进化的历程 章节核心框架 本章节围绕 “生物如何从原始生命逐步演化出如今多样的物种” 展开，核心是掌握进化的证据、大致历程、总体趋势，理解 “从简单到复杂、从低等到高等、从水生到陆生” 的演化逻辑。 一、生物进化的证据（教材重点） 1. 最直接的证据 —— 化石 定义：保存在地层中的古代生物的遗体、遗物或生活痕迹（如恐龙骨骼、树叶印痕、动物粪便化石）。 化石与进化的关系： 地层分布规律：越古老的地层（深层）中，化石生物越简单、低等；越晚近的地层（浅层）中，化石生物越复杂、高等。 实例： 始祖鸟化石：兼具爬行动物（有牙齿、尾椎骨）和鸟类（有羽毛、翼）的特征，证明鸟类由爬行动物进化而来。 马的进化化石：从始祖马（体型小、四趾）→ 三趾马 → 现代马（体型大、单趾），反映生物随环境变化的演化过程。 2. 其他辅助证据 比较解剖学证据：不同生物的同源器官（如人的上肢、蝙蝠的翼、鲸的鳍、鸟的翼），结构相似但功能不同，说明它们源自共同的祖先。 胚胎学证据：脊椎动物的早期胚胎（鱼、蛙、鸡、人）形态相似（都有鳃裂、尾），证明它们有共同的原始祖先。 分子生物学证据：不同生物的 DNA、蛋白质序列相似度越高，亲缘关系越近（如人类与黑猩猩的基因相似度达 98% 以上）。 二、生物进化的大致历程（教材核心脉络） 1. 进化的起点 —— 原始生命的诞生 时间：约 35 亿年前，原始海洋（“生命摇篮”）中，由非生命物质经过漫长化学进化形成原始生命（单细胞、异养、厌氧）。 2. 植物进化历程（从水生到陆生） 原始藻类植物 苔藓植物 蕨类植物 裸子植物 被子植物 关键阶段与特征： 原始藻类植物（水生）：无根茎叶分化，如海带、紫菜，是最早的植物类群。 苔藓植物（陆生初步适应）：有茎和叶，但无真正的根（假根），无输导组织，只能生活在潮湿环境（如葫芦藓、地钱）。 蕨类植物（陆生进一步适应）：有真正的根、茎、叶，有输导组织，能脱离水短期生活（如肾蕨、满江红），但生殖仍需水。 裸子植物（完全陆生）：种子裸露，无果皮包被，生殖脱离水（如松、柏、银杏）。 被子植物（最高等植物）：种子有果皮包被，有花和果实，适应环境能力最强，是现存种类最多的植物（如小麦、花生、苹果）。 3. 动物进化历程（从无脊椎到脊椎，从水生到陆生） （1）无脊椎动物进化 原始单细胞动物 → 腔肠动物（如水母、珊瑚）→ 扁形动物（如涡虫、血吸虫）→ 线形动物（如蛔虫）→ 环节动物（如蚯蚓、沙蚕）→ 软体动物（如蜗牛、河蚌）→ 节肢动物（如蝗虫、虾，现存种类最多的动物类群）。 （2）脊椎动物进化 原始鱼类 两栖动物 爬行动物 鸟类 哺乳动物 关键阶段与特征： 原始鱼类（水生）：最早的脊椎动物，用鳃呼吸、鳍游泳（如鲨鱼、中华鲟）。 两栖动物（水生向陆生过渡）：幼体水生（用鳃呼吸），成体水陆两栖（用肺呼吸，皮肤辅助），生殖需水（如青蛙、蟾蜍）。 爬行动物（完全陆生）：体表有鳞片或甲，用肺呼吸，卵生（卵有坚韧卵壳），生殖脱离水（如鳄鱼、蛇、恐龙），是真正的陆生脊椎动物。 鸟类（由爬行动物进化）：体表覆羽，恒温，卵生，有气囊辅助肺呼吸（如鸽子、鹰）。 哺乳动物（最高等动物）：体表被毛，恒温，胎生哺乳，大脑发达（如人类、牛、狗）。 4. 生物进化系统树（“进化树” 核心逻辑） 核心：所有生物都源自共同的原始祖先，进化树的 “分支” 代表生物类群的分化，“树干” 代表原始生命，越往上的分支生物越高等。 三、生物进化的总体趋势（教材总结） 结构上：从简单到复杂（如单细胞→多细胞，无根茎叶→有根茎叶）。 等级上：从低等到高等（如藻类→被子植物，鱼类→哺乳动物）。 生活环境上：从水生到陆生（如原始藻类→陆生植物，鱼类→两栖动物→爬行动物）。 ⚠️ 易错提示： 生物进化是 “渐变式” 的，不是 “跳跃式” 的（如鸟类不是突然从爬行动物变成的，有始祖鸟这样的过渡类型）。 进化不是 “所有生物都向高等进化”，低等生物（如细菌、藻类）仍能适应环境，继续生存。 四、章节小结（备考 / 复习核心） 核心证据：化石（直接）+ 同源器官、胚胎发育、分子生物学（辅助）。 核心历程：原始生命 → 分支出植物和动物 → 植物：藻类→苔藓→蕨类→裸子→被子；动物：无脊椎动物→鱼类→两栖类→爬行类→鸟类 + 哺乳类。 核心趋势：简单→复杂、低等→高等、水生→陆生。 关键逻辑：生物进化是自然选择的结果，适应环境的生物存活，不适应的被淘汰，最终形成如今多样的生物界。 五、典型例题（匹配教材题型） 下列哪项能作为生物进化的直接证据？（ ）A. 同源器官 B. 化石 C. 胚胎发育相似性 D. 基因相似度答案：B（解析：化石是最直接的证据，其他为辅助证据） 下列关于生物进化历程的叙述，错误的是（ ）A. 植物进化的顺序是：藻类→苔藓→蕨类→裸子植物→被子植物B. 脊椎动物进化的顺序是：鱼类→两栖类→爬行类→鸟类→哺乳类C. 生物进化的总体趋势是从简单到复杂、从低等到高等、从水生到陆生D. 爬行动物是鸟类和哺乳类的共同祖先答案：B（解析：脊椎动物中，爬行动物同时进化出鸟类和哺乳类，二者是并列关系，不是先后顺序）
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八年级生物：生物的进化 —— 地球上生命的起源 一、学习目标 描述原始地球的环境条件，理解原始地球为生命起源提供的基础。 列举并辨析生命起源的几种主要假说（神创论、自然发生论、化学起源说、宇生说）。 掌握化学起源说的核心观点及关键证据（米勒实验），理解生命起源的大致过程。 形成科学的生命起源观，认同 “生命起源是长期化学进化的结果” 这一科学结论。 二、核心知识点梳理 （一）原始地球的环境条件 形成时间：约 46 亿年前，地球由太阳系原始星云凝聚形成。 环境特点（与现在差异极大）： 大气成分：没有氧气，以水蒸气、氢气、氨气、甲烷、二氧化碳、硫化氢等气体为主（原始大气）。 地表环境：温度极高（火山频繁喷发，岩浆遍布），天空常有雷电，地面有原始海洋（由水蒸气冷却凝结形成，是生命起源的 “摇篮”）。 关键条件：高温、雷电、紫外线等提供了原始生命形成所需的能量。 （二）生命起源的几种假说 假说名称 核心观点 科学依据 / 局限性 神创论（特创论） 生命由神或上帝直接创造，物种永恒不变。 无科学证据，属于宗教信仰，不符合生物进化的科学事实。 自然发生论（自生论） 生命可以从非生命物质中随时自发产生（如 “腐肉生蛆”“腐草化萤”）。 被巴斯德 “鹅颈瓶实验” 推翻（证明肉汤中的微生物来自空气，而非自发产生）。 化学起源说（主流假说） 生命是由非生命物质经过漫长的化学进化过程逐渐形成的（最被科学界认可）。 米勒实验、原始地球环境模拟实验等提供直接证据，符合物质演化的逻辑。 宇生说（天外起源说） 生命的种子（如细菌、病毒等微生物孢子）来自宇宙，随陨石或彗星落到地球。 陨石中发现氨基酸、核酸等生命必需的有机小分子；但无法解释宇宙中生命的起源本身。 （三）化学起源说的核心内容（重点） 1. 核心观点 原始生命起源于原始海洋，经历了 “非生命物质→有机小分子→有机大分子→多分子体系→原始生命” 的逐步演化过程。 2. 四个关键阶段（从无到有的演化） 阶段 具体过程 发生场所 第一阶段：有机小分子的形成 原始大气中的无机小分子（H₂O、H₂、NH₃、CH₄等），在高温、雷电、紫外线作用下，合成氨基酸、核苷酸、单糖等有机小分子。 原始大气 第二阶段：有机大分子的形成 有机小分子随雨水汇入原始海洋，在原始海洋中积累并相互作用，通过脱水缩合形成蛋白质、核酸（DNA、RNA）等有机大分子。 原始海洋 第三阶段：多分子体系的形成 有机大分子在原始海洋中聚集，形成具有相对独立边界的团聚体或微球体（能与外界进行简单物质交换）。 原始海洋 第四阶段：原始生命的诞生 多分子体系逐渐演化出原始的新陈代谢（能吸收营养、排出废物）和繁殖能力（能复制自身遗传物质），标志着原始生命的诞生。 原始海洋（深海热泉口附近被认为是重要场所） 3. 关键证据：米勒实验（1953 年，美国科学家米勒） 实验目的：模拟原始地球环境，验证 “无机小分子能否合成有机小分子”。 实验装置： 左侧烧瓶：模拟原始大气（充入 H₂、NH₃、CH₄、水蒸气等）。 电火花发生器：模拟雷电（提供能量）。 右侧冷凝管：模拟降雨（使反应产物随雨水汇入 “原始海洋”）。 实验结果：一周后，在 “原始海洋” 的溶液中检测到了氨基酸（生命必需的有机小分子）。 实验结论：原始地球条件下，无机小分子可以合成有机小分子，为化学起源说提供了重要证据。 （四）原始生命的特征 结构简单：无细胞结构或简单的单细胞结构（推测为原核生物，如原始细菌）。 代谢方式：异养（依赖原始海洋中的有机物质生存）、厌氧（原始大气中无氧气，只能进行无氧呼吸）。 繁殖方式：简单的分裂生殖（复制遗传物质后分裂）。 三、重点难点解析 1. 为什么原始海洋是生命起源的 “摇篮”？ 原始海洋为有机小分子提供了稳定的聚集场所，避免被高温、紫外线破坏。 海洋中的水作为溶剂，能促进有机小分子之间的化学反应（如脱水缩合）。 海洋环境相对温和，为多分子体系向原始生命演化提供了安全的环境。 2. 化学起源说中 “原始生命诞生” 的关键标志是什么？ 不是有机大分子的形成，也不是多分子体系的出现，而是原始新陈代谢和繁殖能力的具备。 只有能独立进行物质交换（代谢）和遗传物质复制（繁殖），才能称为 “生命”。 3. 米勒实验不能证明什么？ 米勒实验仅证明了 “无机小分子→有机小分子” 的阶段，无法证明后续的 “有机小分子→有机大分子→原始生命” 阶段。 后续阶段的推测的依据是化学逻辑和化石证据（如 35 亿年前的蓝细菌化石）。 四、易错点提醒 混淆 “原始大气” 和 “现代大气”：原始大气中没有氧气，氧气是后来原始生命（如蓝细菌）进行光合作用产生的。 误解 “化学起源说” 为 “生命是自发产生的”：化学起源说强调 “漫长的化学进化过程”（亿万年），而非 “随时自发产生”，与自然发生论有本质区别。 认为 “米勒实验证明了生命的起源”：米勒实验仅证明了化学起源说的第一阶段，不能直接证明整个生命起源过程。 五、习题巩固 1. 基础题 （1）原始地球的大气成分中，不包含的气体是（ ）A. 氢气 B. 氧气 C. 甲烷 D. 氨气（2）米勒实验的主要目的是（ ）A. 证明原始生命起源于原始海洋B. 证明无机小分子可以合成有机小分子C. 证明有机大分子可以形成多分子体系D. 证明原始生命能进行新陈代谢 2. 中档题 （3）下列关于生命起源的叙述，错误的是（ ）A. 原始生命诞生的场所是原始海洋B. 化学起源说认为生命起源于非生命物质C. 自然发生论被科学实验推翻，不再被认可D. 宇生说认为生命的种子来自地球内部 3. 拓展题 （4）结合化学起源说，简要描述从原始地球的无机物质到原始生命的演化路径，并说明每个阶段的关键条件。 六、参考答案 （1）B （2）B （3）D（宇生说认为生命种子来自宇宙，而非地球内部） （4）演化路径：无机小分子（H₂O、H₂等）→有机小分子（氨基酸、核苷酸）→有机大分子（蛋白质、核酸）→多分子体系→原始生命。 关键条件：①第一阶段需要高温、雷电、紫外线提供能量；②第二、三、四阶段需要原始海洋提供稳定的环境和溶剂；③多分子体系演化到原始生命需要形成代谢和繁殖能力。 七、学习建议 结合示意图理解米勒实验的装置和原理，可动手绘制实验流程图，强化记忆。 对比不同生命起源假说的核心观点，通过 “找证据、辨真伪” 的方式，认同化学起源说的科学性。 联系后续章节 “生物进化的证据”（如化石），理解 “生命起源→生物进化” 的逻辑链条，形成完整的知识体系。
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八年级生物 | 生物的遗传和变异 —— 生物的变异 一、核心知识点（教材同步结构化梳理） （一）变异的概念 定义：亲子间和子代个体间的差异称为生物的变异（例：同一株苹果树结的果实大小、颜色不同；兄弟姐妹的身高、相貌不同）。 注意：变异是普遍存在的，所有生物都有变异现象（遗传是相对的，变异是绝对的）。 （二）变异的类型（重点考点） 分类依据 类型 本质原因 实例 能否遗传给后代 遗传物质是否改变 可遗传变异 遗传物质（DNA、基因）发生改变 1. 金鱼的不同花色；2. 镰刀型细胞贫血症；3. 玉米的白化苗；4. 太空椒（基因突变） 能（通过生殖细胞传递） 不遗传变异 遗传物质未改变，仅由环境因素引起 1. 同一农作物在肥沃和贫瘠土壤中长势不同；2. 晒黑的皮肤；3. 修剪后的树木形状改变 不能（仅影响当代，生殖细胞遗传物质未变） 对生物生存的影响 有利变异 有利于生物适应环境、生存和繁殖 1. 抗虫的农作物；2. 耐寒的小麦；3. 猎豹的快速奔跑能力 - 不利变异 不利于生物适应环境、生存和繁殖 1. 玉米的白化苗（无法进行光合作用）；2. 人类的先天性聋哑；3. 害虫的抗药性减弱 - 中性变异 对生物生存无明显利弊 1. 人的单眼皮和双眼皮；2. 豌豆的圆粒和皱粒（仅性状不同，不影响生存） - （三）变异的原因（难点解析） 可遗传变异的原因： 基因突变：基因结构发生改变（例：太空椒的培育，宇宙射线导致基因变异）； 基因重组：生物体在有性生殖过程中，控制不同性状的基因重新组合（例：杂交水稻的培育，父母性状组合产生子女的不同表现）； 染色体变异：染色体的数量或结构发生改变（例：唐氏综合征患者多一条 21 号染色体）。 不遗传变异的原因： 环境因素：温度、光照、水分、营养、化学物质等（例：北方的柑橘移栽到南方后果实更大，是温度和土壤影响）； 注意：环境因素只能影响性状表现，不能改变遗传物质。 （四）变异的意义（核心知识点） 对生物进化的意义：变异是生物进化的原材料，没有变异，生物就不能适应不断变化的环境，进化就无法发生（自然选择保留有利变异，淘汰不利变异）。 对人类的意义： 农业生产：培育优良品种（杂交水稻、抗虫棉、太空蔬菜等）； 医学：研究遗传病的发病机制，预防和治疗遗传病； 生物多样性：变异导致生物种类丰富，形成不同的物种和品种。 （五）人类利用变异的实例（联系实际应用） 杂交育种：利用基因重组，将不同品种的优良性状组合在一起（例：袁隆平的杂交水稻，高产 + 抗倒伏）； 诱变育种：利用基因突变，人工诱导遗传物质改变（例：太空椒、诱变育种的抗虫小麦，通过射线、化学物质诱导变异）； 选择育种：从自然变异中选择优良个体繁殖（例：古代人类驯化野生动物，选择温顺、高产的个体培育成家畜）； 基因工程育种：直接改造基因（例：抗虫棉，将细菌的抗虫基因转入棉花细胞）。 二、重难点突破（易错点 + 易混点） （一）易错点 1：判断变异是否可遗传 关键技巧：看遗传物质是否改变，而非是否由环境引起（有些环境因素可能诱发遗传物质改变，属于可遗传变异）。 例：“同卵双胞胎，一个在城市生活，一个在农村生活，身高不同”—— 不遗传变异（遗传物质相同，环境导致）； 例：“同卵双胞胎中，一个患血友病，一个正常”—— 可遗传变异（遗传物质发生突变）。 （二）易错点 2：有利变异和不利变异的相对性 变异的 “有利” 或 “不利” 取决于环境： 例：浅色桦尺蛾在浅色树干上是有利变异（不易被天敌发现），但在工业污染后的深色树干上是不利变异； 例：抗除草剂的杂草对人类是不利变异，但对杂草自身是有利变异（能在除草剂环境中生存）。 （三）易混点：遗传、变异与进化的关系 遗传：保持物种的稳定性； 变异：为进化提供原材料； 自然选择：筛选出适应环境的有利变异，推动生物进化。 三、教材同步例题（基础 + 提升） （一）基础题（对应教材课后习题） 下列属于可遗传变异的是（ ）A. 长期锻炼导致肌肉发达 B. 单眼皮经手术变成双眼皮C. 太空育种培育的 “太空椒” 个大味甜 D. 水肥充足导致小麦穗大粒满 答案：C（解析：A、B、D 均为环境因素引起，遗传物质未变；C 是基因突变导致，可遗传） 下列关于变异的说法，错误的是（ ）A. 变异是普遍存在的 B. 变异对生物都是有利的C. 可遗传变异能遗传给后代 D. 环境因素引起的变异不一定能遗传 答案：B（解析：变异有有利、不利、中性之分） （二）提升题（中考题型） 袁隆平院士利用杂交技术培育出高产的杂交水稻，其原理是（ ）A. 基因突变 B. 基因重组 C. 染色体变异 D. 环境影响 答案：B（解析：杂交育种的核心是基因重组，将不同品种的优良基因组合） 阅读材料，回答问题：材料一：将普通甜椒的种子送入太空，在宇宙射线、微重力等环境因素作用下，种子的基因发生改变，培育出果实更大、维生素 C 含量更高的 “太空椒”。材料二：农田里的玉米，有的植株长得高，有的长得矮；有的穗大，有的穗小。农民会选择长得高、穗大的玉米留种，来年播种。（1）材料一中的 “太空椒” 变异属于______变异（填 “可遗传” 或 “不遗传”），原因是______。（2）材料二中，农民选择 “高秆、大穗” 玉米留种，利用了变异的______特性，该变异对玉米生存的意义是______。（3）上述两则材料说明，变异在生物进化和人类生产生活中的作用是______。 答案： （1）可遗传；遗传物质发生改变（基因突变）； （2）有利；有利于玉米获取阳光和养分，提高产量，适应环境； （3）变异是生物进化的原材料，人类可利用变异培育优良品种。 四、课堂小结（思维导图框架） plaintext 生物的变异 ├─ 概念：亲子间、子代个体间的差异（普遍存在） ├─ 类型 │ ├─ 按遗传物质：可遗传变异（遗传物质改变）、不遗传变异（环境引起） │ └─ 按生存影响：有利变异、不利变异、中性变异 ├─ 原因 │ ├─ 可遗传：基因突变、基因重组、染色体变异 │ └─ 不遗传：环境因素（温度、营养等） ├─ 意义：生物进化的原材料；人类培育优良品种 └─ 应用：杂交育种、诱变育种、基因工程育种 五、课后练习（分层设计） （一）基础巩固 下列现象中，属于不遗传变异的是（ ） A. 番茄的红果和黄果 B. 家兔的白毛和黑毛 C. 经常晒太阳导致皮肤变黑 D. 豌豆的高茎和矮茎 可遗传变异的根本原因是（ ） A. 环境改变 B. 遗传物质改变 C. 性状改变 D. 生存竞争 （二）能力提升 用射线处理萌发的种子使其发生基因突变，培育出新品种，该变异属于______变异，理由是______。如果将该新品种的种子种在贫瘠的土壤中，长势不好，该变异属于______变异，理由是______。 为什么说 “变异是生物进化的原材料”？结合自然选择的过程简要说明。 （三）拓展探究 查阅资料，了解 “抗虫棉” 的培育过程，分析其变异类型、原理及对农业生产的意义，撰写一段 200 字左右的说明。 六、教学 / 学习建议 学生学习：重点区分 “可遗传变异” 和 “不遗传变异”，通过实例记忆（如太空椒 vs 晒黑的皮肤），结合表格对比加深理解；关注变异在实际生活中的应用（如杂交水稻、太空蔬菜），联系生活实际降低记忆难度。 教师备课：可通过实验演示（如观察不同品种的花生果实大小差异）或视频（太空育种过程）直观展示变异现象；设计对比实验（如将同一植物的种子分别种在不同环境中），让学生亲身感受环境对变异的影响。 中考备考：该知识点常以选择题、材料分析题形式考查，核心考点是变异类型的判断、变异原因及应用，需重点练习 “根据实例判断变异类型” 的题型，掌握关键判断依据（遗传物质是否改变）。
![七年级数学 / 代数式 / 列代数式表示数量关系
一、核心概念回顾
代数式定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母也叫做代数式（如：5、a、3x）。
列代数式的核心：将文字描述的数量关系转化为数学符号表达式，关键是找准 “关键词” 对应的运算，明确字母表示的量。
二、列代数式的常见类型与方法（含教材同步场景）
类型 1：和、差、倍、分关系（基础必学）
核心关键词与运算对应：
关键词 对应运算 示例（文字→代数式）
和、加、共 加法（+） 比 x 大 5 的数 → x+5；a 与 b 的和的 2 倍 → 2 (a+b)
差、减、少 减法（-） 比 y 小 3 的数 → y-3；m 的 4 倍比 n 少 2 → 4m = n-2（等式）/ 4m + 2 = n；a 与 b 的差 → a-b（注意顺序）
倍、乘 乘法（×） 3 的 x 倍 → 3x；n 的
2
1
→
2
1
n
（数字与字母相乘，数字写在前，乘号省略）
分、除以 除法（÷/ 分数） x 除以 y 的商 →
y
x
（避免写 x÷y）；a 的倒数与 b 的和 →
a
1
+b
（a≠0）
平方、立方 乘方（
a
2
、
a
3
） x 的平方加 3 →
x
2
+3
；m 的立方的 2 倍 →
2m
3
易错提醒：
“a 比 b 少 3”≠“b 比 a 少 3”，前者是 a = b-3，后者是 b = a-3；
分数形式优先于除法符号（如 “x 与 2 的商” 写
2
x
，不写 x÷2）。
类型 2：几何图形中的数量关系（教材高频场景）
核心思路：先回忆图形公式，再用字母表示未知量
图形 数量关系（文字描述） 代数式（设未知量为字母）
长方形 长为 a，宽为 b，周长；面积 周长：2 (a+b)；面积：ab
正方形 边长为 x，周长；面积；对角线长（√2 倍边长） 周长：4x；面积：
x
2
；对角线：
2
x
（七年级后期接触）
三角形 底为 m，高为 h，面积 面积：
2
1
mh
圆 半径为 r，周长（2πr）；面积（πr²） 周长：
2πr
；面积：
πr
2
（π 为常数，保留即可）
长方体 长 a、宽 b、高 c，体积；表面积 体积：abc；表面积：2 (ab+bc+ac)
示例：
一个长方形的长比宽多 2cm，设宽为 x cm，则长为（x+2）cm，周长为 2 [x + (x+2)] = 4x + 4（cm），面积为 x (x+2)（cm²）。
类型 3：实际应用场景（行程、工程、价格等）
1. 行程问题（路程 = 速度 × 时间）
文字描述 代数式（设关键量为字母）
甲的速度为 v km/h，乙的速度比甲快 3 km/h，2 小时后甲、乙的路程和 甲的路程：2v；乙的速度：(v+3)；乙的路程：2 (v+3)；路程和：2v + 2 (v+3) = 4v + 6
路程 s km，速度为 v km/h，比原计划提前 1 小时到达，原计划时间 实际时间：
v
s
；原计划时间：
v
s
+1
（小时）
2. 价格问题（总价 = 单价 × 数量）
文字描述 代数式（设关键量为字母）
苹果单价为 a 元 / 千克，梨单价为 b 元 / 千克，买 3kg 苹果和 2kg 梨的总价 3a + 2b（元）
一件商品原价 x 元，打 8 折后的售价；再降价 5 元后的售价 8 折售价：0.8x（元）；再降价后：0.8x - 5（元）
3. 工程问题（工作量 = 工作效率 × 时间）
文字描述 代数式（设关键量为字母）
甲单独完成一项工程需 x 天，甲的工作效率；乙的效率是甲的 2 倍，乙的效率 甲的效率：
x
1
（工程总量视为 1）；乙的效率：
x
2
甲、乙合作 3 天的工作量 3(
x
1
+
x
2
) =
x
9
4. 数字问题（个位、十位、百位数字关系）
文字描述 代数式（设关键量为字母）
一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b，这个两位数 10a + b（如：十位 3、个位 5，即 3×10 + 5 = 35）
这个两位数的 3 倍与 5 的和 3(10a + b) + 5
类型 4：含 “多个条件” 的复杂数量关系
核心方法：分步拆解，先表示 “中间量”，再表示最终关系
示例：
文字描述：“x 的 3 倍与 y 的一半的差，再加上 z 的平方”分步拆解：①x 的 3 倍→3x；②y 的一半→
2
y
；③两者的差→3x -
2
y
；④加上 z 的平方→
3x−
2
y
+z
2
。
文字描述：“比 m 的 2 倍大 5 的数，与 n 的差的倒数”分步拆解：①m 的 2 倍→2m；②大 5→2m + 5；③与 n 的差→(2m + 5) - n；④倒数→
(2m+5)−n
1
（注意：分母不能为 0，即 2m + 5 ≠ n）。
三、列代数式的易错点与注意事项（教材同步提醒）
运算顺序要准确：
“a 与 b 的和的平方”≠“a 的平方与 b 的平方的和”，前者是
(a+b)
2
，后者是
a
2
+b
2
；
“a 除以 b 与 c 的积”≠“a 除以 b 的商与 c 的积”，前者是
bc
a
，后者是
b
a
⋅c
。
字母与数字、字母与字母相乘的规则：
数字写在字母前面（如：3x，不写 x3）；
乘号省略或用 “・” 表示（如：ab，不写 a×b；3・a，可写 3a）；
带分数与字母相乘，要化为假分数（如：
2
2
1
x
应写
2
5
x
）。
单位的处理：
代数式后带单位时，若代数式是和、差形式，需加括号（如：(x+5) cm，不写 x+5cm）；
若为积、商形式，直接加单位（如：3x kg，
v
s
小时）。
分母不能为 0：
涉及除法或分数时，字母的取值要保证分母不为 0（如：
x−2
1
中，x≠2）。
区分 “代数式” 与 “等式 / 不等式”：
代数式不含 “=”“>”“<” 等符号（如：3x+2 是代数式，3x+2=5 是等式）。
四、典型例题解析（教材同步难度）
例题 1：基础和差倍分
用代数式表示：（1）比 a 的相反数小 5 的数；（2）x 的
3
2
与 y 的 3 倍的和；（3）m 与 n 的差的平方的
4
1
。
解析：（1）a 的相反数是
−a
，小 5 即
−a−5
；（2）x 的
3
2
是
3
2
x
，y 的 3 倍是
3y
，和为
3
2
x+3y
；（3）m 与 n 的差是
m−n
，平方是
(m−n)
2
，
4
1
即
4
1
(m−n)
2
。
例题 2：几何图形应用
一个梯形的上底长为 a cm，下底长是上底的 2 倍多 1 cm，高为 h cm，求这个梯形的面积。
解析：
下底长：
2a+1
（cm）；
梯形面积公式：
2
1
（上底 + 下底）× 高；
代数式：
2
1
[a+(2a+1)]⋅h=
2
1
(3a+1)h=
2
3
ah+
2
1
h
（cm²）。
例题 3：实际应用
某商场推出优惠活动：购物满 300 元减 50 元，不满 300 元不优惠。设某顾客购物金额为 x 元（x 为正整数），用代数式表示顾客实际支付的金额。
解析：
当 x ≥ 300 时，实际支付：
x−50
（元）；
当 x < 300 时，实际支付：
x
（元）；
综合：
为
正
整
数
为
正
整
数
。
五、分层练习题（对应教材课后练习难度）
基础题（必做）
用代数式表示：（1）a 的 3 倍与 4 的和；（2）比 x 小
5
1
的数；（3）n 的平方与 m 的
3
1
的差；（4）长方形的长为 x，宽为 y，周长的
2
1
。
一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，用代数式表示这个三位数。
提高题（选做）
甲、乙两人从相距 s km 的两地同时出发，相向而行，甲的速度为 v km/h，乙的速度为 (u + 2) km/h，经过 t 小时两人相遇，用代数式表示 t，并说明字母的取值范围。
某工厂第一年的产值为 a 万元，第二年比第一年增长了 10%，第三年又比第二年增长了 10%，用代数式表示第三年的产值。
答案提示
基础题：
（1）
3a+4
；（2）
x−
5
1
x=
5
4
x
；（3）
n
2
−
3
1
m
；（4）
2
1
×2(x+y)=x+y
；
100a+10b+c
。
提高题：
t=
v+(u+2)
s
=
v+u+2
s
（s、v、u 均为正数）；
第二年产值：
a(1+10%)=1.1a
，第三年产值：
1.1a(1+10%)=1.21a
（万元）。
六、总结
列代数式的 “三步法”：
找关键词：识别 “和、差、倍、分、平方、比…… 多 / 少” 等运算提示词；
定顺序：根据文字描述确定运算顺序（先算什么，再算什么，必要时用括号）；
写符号：将文字转化为字母、数字和运算符号，遵循代数式书写规则。](https://jieti11.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/video/cover/585165717021421569.png)
▶
七年级数学 / 代数式 / 列代数式表示数量关系 一、核心概念回顾 代数式定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或一个字母也叫做代数式（如：5、a、3x）。 列代数式的核心：将文字描述的数量关系转化为数学符号表达式，关键是找准 “关键词” 对应的运算，明确字母表示的量。 二、列代数式的常见类型与方法（含教材同步场景） 类型 1：和、差、倍、分关系（基础必学） 核心关键词与运算对应： 关键词 对应运算 示例（文字→代数式） 和、加、共 加法（+） 比 x 大 5 的数 → x+5；a 与 b 的和的 2 倍 → 2 (a+b) 差、减、少 减法（-） 比 y 小 3 的数 → y-3；m 的 4 倍比 n 少 2 → 4m = n-2（等式）/ 4m + 2 = n；a 与 b 的差 → a-b（注意顺序） 倍、乘 乘法（×） 3 的 x 倍 → 3x；n 的 2 1 → 2 1 n （数字与字母相乘，数字写在前，乘号省略） 分、除以 除法（÷/ 分数） x 除以 y 的商 → y x （避免写 x÷y）；a 的倒数与 b 的和 → a 1 +b （a≠0） 平方、立方 乘方（ a 2 、 a 3 ） x 的平方加 3 → x 2 +3 ；m 的立方的 2 倍 → 2m 3 易错提醒： “a 比 b 少 3”≠“b 比 a 少 3”，前者是 a = b-3，后者是 b = a-3； 分数形式优先于除法符号（如 “x 与 2 的商” 写 2 x ，不写 x÷2）。 类型 2：几何图形中的数量关系（教材高频场景） 核心思路：先回忆图形公式，再用字母表示未知量 图形 数量关系（文字描述） 代数式（设未知量为字母） 长方形 长为 a，宽为 b，周长；面积 周长：2 (a+b)；面积：ab 正方形 边长为 x，周长；面积；对角线长（√2 倍边长） 周长：4x；面积： x 2 ；对角线： 2 x （七年级后期接触） 三角形 底为 m，高为 h，面积 面积： 2 1 mh 圆 半径为 r，周长（2πr）；面积（πr²） 周长： 2πr ；面积： πr 2 （π 为常数，保留即可） 长方体 长 a、宽 b、高 c，体积；表面积 体积：abc；表面积：2 (ab+bc+ac) 示例： 一个长方形的长比宽多 2cm，设宽为 x cm，则长为（x+2）cm，周长为 2 [x + (x+2)] = 4x + 4（cm），面积为 x (x+2)（cm²）。 类型 3：实际应用场景（行程、工程、价格等） 1. 行程问题（路程 = 速度 × 时间） 文字描述 代数式（设关键量为字母） 甲的速度为 v km/h，乙的速度比甲快 3 km/h，2 小时后甲、乙的路程和 甲的路程：2v；乙的速度：(v+3)；乙的路程：2 (v+3)；路程和：2v + 2 (v+3) = 4v + 6 路程 s km，速度为 v km/h，比原计划提前 1 小时到达，原计划时间 实际时间： v s ；原计划时间： v s +1 （小时） 2. 价格问题（总价 = 单价 × 数量） 文字描述 代数式（设关键量为字母） 苹果单价为 a 元 / 千克，梨单价为 b 元 / 千克，买 3kg 苹果和 2kg 梨的总价 3a + 2b（元） 一件商品原价 x 元，打 8 折后的售价；再降价 5 元后的售价 8 折售价：0.8x（元）；再降价后：0.8x - 5（元） 3. 工程问题（工作量 = 工作效率 × 时间） 文字描述 代数式（设关键量为字母） 甲单独完成一项工程需 x 天，甲的工作效率；乙的效率是甲的 2 倍，乙的效率 甲的效率： x 1 （工程总量视为 1）；乙的效率： x 2 甲、乙合作 3 天的工作量 3( x 1 + x 2 ) = x 9 4. 数字问题（个位、十位、百位数字关系） 文字描述 代数式（设关键量为字母） 一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b，这个两位数 10a + b（如：十位 3、个位 5，即 3×10 + 5 = 35） 这个两位数的 3 倍与 5 的和 3(10a + b) + 5 类型 4：含 “多个条件” 的复杂数量关系 核心方法：分步拆解，先表示 “中间量”，再表示最终关系 示例： 文字描述：“x 的 3 倍与 y 的一半的差，再加上 z 的平方”分步拆解：①x 的 3 倍→3x；②y 的一半→ 2 y ；③两者的差→3x - 2 y ；④加上 z 的平方→ 3x− 2 y +z 2 。 文字描述：“比 m 的 2 倍大 5 的数，与 n 的差的倒数”分步拆解：①m 的 2 倍→2m；②大 5→2m + 5；③与 n 的差→(2m + 5) - n；④倒数→ (2m+5)−n 1 （注意：分母不能为 0，即 2m + 5 ≠ n）。 三、列代数式的易错点与注意事项（教材同步提醒） 运算顺序要准确： “a 与 b 的和的平方”≠“a 的平方与 b 的平方的和”，前者是 (a+b) 2 ，后者是 a 2 +b 2 ； “a 除以 b 与 c 的积”≠“a 除以 b 的商与 c 的积”，前者是 bc a ，后者是 b a ⋅c 。 字母与数字、字母与字母相乘的规则： 数字写在字母前面（如：3x，不写 x3）； 乘号省略或用 “・” 表示（如：ab，不写 a×b；3・a，可写 3a）； 带分数与字母相乘，要化为假分数（如： 2 2 1 x 应写 2 5 x ）。 单位的处理： 代数式后带单位时，若代数式是和、差形式，需加括号（如：(x+5) cm，不写 x+5cm）； 若为积、商形式，直接加单位（如：3x kg， v s 小时）。 分母不能为 0： 涉及除法或分数时，字母的取值要保证分母不为 0（如： x−2 1 中，x≠2）。 区分 “代数式” 与 “等式 / 不等式”： 代数式不含 “=”“>”“<” 等符号（如：3x+2 是代数式，3x+2=5 是等式）。 四、典型例题解析（教材同步难度） 例题 1：基础和差倍分 用代数式表示：（1）比 a 的相反数小 5 的数；（2）x 的 3 2 与 y 的 3 倍的和；（3）m 与 n 的差的平方的 4 1 。 解析：（1）a 的相反数是 −a ，小 5 即 −a−5 ；（2）x 的 3 2 是 3 2 x ，y 的 3 倍是 3y ，和为 3 2 x+3y ；（3）m 与 n 的差是 m−n ，平方是 (m−n) 2 ， 4 1 即 4 1 (m−n) 2 。 例题 2：几何图形应用 一个梯形的上底长为 a cm，下底长是上底的 2 倍多 1 cm，高为 h cm，求这个梯形的面积。 解析： 下底长： 2a+1 （cm）； 梯形面积公式： 2 1 （上底 + 下底）× 高； 代数式： 2 1 [a+(2a+1)]⋅h= 2 1 (3a+1)h= 2 3 ah+ 2 1 h （cm²）。 例题 3：实际应用 某商场推出优惠活动：购物满 300 元减 50 元，不满 300 元不优惠。设某顾客购物金额为 x 元（x 为正整数），用代数式表示顾客实际支付的金额。 解析： 当 x ≥ 300 时，实际支付： x−50 （元）； 当 x < 300 时，实际支付： x （元）； 综合： 为 正 整 数 为 正 整 数 。 五、分层练习题（对应教材课后练习难度） 基础题（必做） 用代数式表示：（1）a 的 3 倍与 4 的和；（2）比 x 小 5 1 的数；（3）n 的平方与 m 的 3 1 的差；（4）长方形的长为 x，宽为 y，周长的 2 1 。 一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，用代数式表示这个三位数。 提高题（选做） 甲、乙两人从相距 s km 的两地同时出发，相向而行，甲的速度为 v km/h，乙的速度为 (u + 2) km/h，经过 t 小时两人相遇，用代数式表示 t，并说明字母的取值范围。 某工厂第一年的产值为 a 万元，第二年比第一年增长了 10%，第三年又比第二年增长了 10%，用代数式表示第三年的产值。 答案提示 基础题： （1） 3a+4 ；（2） x− 5 1 x= 5 4 x ；（3） n 2 − 3 1 m ；（4） 2 1 ×2(x+y)=x+y ； 100a+10b+c 。 提高题： t= v+(u+2) s = v+u+2 s （s、v、u 均为正数）； 第二年产值： a(1+10%)=1.1a ，第三年产值： 1.1a(1+10%)=1.21a （万元）。 六、总结 列代数式的 “三步法”： 找关键词：识别 “和、差、倍、分、平方、比…… 多 / 少” 等运算提示词； 定顺序：根据文字描述确定运算顺序（先算什么，再算什么，必要时用括号）； 写符号：将文字转化为字母、数字和运算符号，遵循代数式书写规则。
![七年级数学 / 有理数的运算 / 有理数的乘方
一、学习目标
理解有理数乘方的定义，掌握乘方的表示方法（底数、指数、幂的概念）。
熟练掌握有理数乘方的运算规则，能准确计算正数、负数、0 的乘方。
掌握有理数混合运算（含乘方）的顺序，解决实际应用问题。
理解科学记数法的定义，能进行数的科学记数法表示与还原。
二、核心知识点解析
（一）乘方的定义与表示方法
1. 定义
求
n
个相同因数
a
的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作：
a
n
（读作 “
a
的
n
次方” 或 “
a
的
n
次幂”）。
2. 各部分名称
底数（
a
）：相同的因数；
指数（
n
）：相同因数的个数（
n
为正整数）；
幂（
a
n
）：乘方运算的结果。
3. 举例说明
2×2×2×2=2
4
：底数是 2，指数是 4，幂是 16（读作 “2 的 4 次方” 或 “2 的 4 次幂”）；
(−3)×(−3)×(−3)=(−3)
3
：底数是 - 3，指数是 3，幂是 - 27；
注意：单独一个数可以看作指数为 1 的乘方，如
5=5
1
（指数 1 通常省略不写）。
（二）有理数乘方的运算规则
1. 符号法则（核心易错点）
正数的任何次幂都是正数；
例：
3
2
=9
，
2
3
=8
，
5
4
=625
。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
例：
(−2)
3
=−8
（指数 3 是奇数，结果为负），
(−2)
4
=16
（指数 4 是偶数，结果为正）。
0 的任何正整数次幂都是 0；
例：
0
5
=0
，
0
100
=0
（注意：
0
0
无意义）。
1 的任何次幂都是 1，
−1
的奇次幂是
−1
，偶次幂是 1；
例：
1
2024
=1
，
(−1)
2023
=−1
，
(−1)
2024
=1
。
2. 计算步骤
确定底数的符号和指数的奇偶性；
根据符号法则判断幂的符号；
计算底数绝对值的乘方（即正数的乘方）；
结合符号得出最终结果。
3. 典型例题
计算
(−3)
4
：
解：指数 4 是偶数，幂为正；
3
4
=81
，故
(−3)
4
=81
。
计算
−3
4
（注意：无括号，底数是 3）：
解：先算
3
4
=81
，再添负号，故
−3
4
=−81
。
计算
(−
2
1
)
3
：
解：指数 3 是奇数，幂为负；
(
2
1
)
3
=
8
1
，故
(−
2
1
)
3
=−
8
1
。
（三）有理数的混合运算（含乘方）
1. 运算顺序（必须牢记）
先算乘方，再算乘除，最后算加减；
同级运算（乘除或加减），从左到右依次进行；
如有括号，先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）。
2. 典型例题
计算：
−2
2
+(−3)×[(−4)
2
+2]−(−3)
3
÷3
解：第一步：算乘方：
−2
2
=−4
，
(−4)
2
=16
，
(−3)
3
=−27
；第二步：算括号内：
(−4)
2
+2=16+2=18
；第三步：算乘除：
(−3)×18=−54
，
−(−27)÷3=27÷3=9
；第四步：算加减：
−4+(−54)+9=−49
。
（四）科学记数法（乘方的实际应用）
1. 定义
把一个大于 10 的数表示成
a×10
n
的形式（其中
1≤a<10
，
n
是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。
2. 核心要点
a
的取值范围：
1≤a<10
（必须是一位整数的小数，如 1.23，不能是 12.3 或 0.123）；
n
的确定：
n=
原数的整数位数
−1
。
3. 举例说明
用科学记数法表示 1230000：
解：原数整数位数是 7，故
n=7−1=6
，
a=1.23
，即
1230000=1.23×10
6
。
还原
3.05×10
4
：
解：
n=4
，把 3.05 的小数点向右移动 4 位，即
3.05×10
4
=30500
。
三、易错点警示
底数的符号混淆：
错误：
(−2)
2
=−4
（正确结果是 4），
−2
2
=4
（正确结果是 - 4）；
关键：带括号的负数，底数是负数；不带括号的，底数是正数，负号单独计算。
指数与底数的位置颠倒：
错误：把
5
3
读作 “3 的 5 次方”（正确是 “5 的 3 次方”）；
关键：指数在右上角，底数在下方，先读底数再读指数。
混合运算顺序错误：
错误：先算加减再算乘方或乘除；
关键：严格遵循 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”。
科学记数法中
a
或
n
的确定错误：
错误：
12300=123×10
3
（
a=123
不符合
1≤a<10
）；
关键：
a
必须是一位整数开头的小数，
n
是原数整数位数减 1。
四、基础练习题
1. 乘方的表示与计算
（1）把下列算式写成乘方形式：①
(−5)×(−5)×(−5)×(−5)=
；
②
3
2
×
3
2
×
3
2
=
。
（2）计算下列各题：①
3
3
=
；②
(−2)
4
=
；③
−1
5
=
；④
0
2024
=
；⑤
(−
3
1
)
2
=
______。
2. 混合运算
计算：（1）
10−(−2)
3
+(−3)
2
；（2）
(−1)
4
+(−2)×[3−(−2)
2
]
。
3. 科学记数法
（1）用科学记数法表示下列各数：① 567000 = ______；② 123.4 = ______。
（2）还原下列科学记数法表示的数：①
2.05×10
5
=
；②
1.8×10
3
=
。
五、参考答案
1. 乘方的表示与计算
（1）①
(−5)
4
；②
(
3
2
)
3
；（2）① 27；② 16；③ -1；④ 0；⑤
9
1
。
2. 混合运算
（1）
10−(−8)+9=10+8+9=27
；（2）
1+(−2)×(3−4)=1+(−2)×(−1)=1+2=3
。
3. 科学记数法
（1）①
5.67×10
5
；②
1.234×10
2
；（2）① 205000；② 1800。
六、课堂小结
乘方是相同因数积的运算，核心是区分底数符号和指数奇偶性对结果的影响；
混合运算需严格遵循 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”；
科学记数法是乘方的实际应用，关键是确定
a
（
1≤a<10
）和
n
（整数位数减 1）。](https://jieti11.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/video/cover/585165173397680129.png)
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七年级数学 / 有理数的运算 / 有理数的乘方 一、学习目标 理解有理数乘方的定义，掌握乘方的表示方法（底数、指数、幂的概念）。 熟练掌握有理数乘方的运算规则，能准确计算正数、负数、0 的乘方。 掌握有理数混合运算（含乘方）的顺序，解决实际应用问题。 理解科学记数法的定义，能进行数的科学记数法表示与还原。 二、核心知识点解析 （一）乘方的定义与表示方法 1. 定义 求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作： a n （读作 “ a 的 n 次方” 或 “ a 的 n 次幂”）。 2. 各部分名称 底数（ a ）：相同的因数； 指数（ n ）：相同因数的个数（ n 为正整数）； 幂（ a n ）：乘方运算的结果。 3. 举例说明 2×2×2×2=2 4 ：底数是 2，指数是 4，幂是 16（读作 “2 的 4 次方” 或 “2 的 4 次幂”）； (−3)×(−3)×(−3)=(−3) 3 ：底数是 - 3，指数是 3，幂是 - 27； 注意：单独一个数可以看作指数为 1 的乘方，如 5=5 1 （指数 1 通常省略不写）。 （二）有理数乘方的运算规则 1. 符号法则（核心易错点） 正数的任何次幂都是正数； 例： 3 2 =9 ， 2 3 =8 ， 5 4 =625 。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 例： (−2) 3 =−8 （指数 3 是奇数，结果为负）， (−2) 4 =16 （指数 4 是偶数，结果为正）。 0 的任何正整数次幂都是 0； 例： 0 5 =0 ， 0 100 =0 （注意： 0 0 无意义）。 1 的任何次幂都是 1， −1 的奇次幂是 −1 ，偶次幂是 1； 例： 1 2024 =1 ， (−1) 2023 =−1 ， (−1) 2024 =1 。 2. 计算步骤 确定底数的符号和指数的奇偶性； 根据符号法则判断幂的符号； 计算底数绝对值的乘方（即正数的乘方）； 结合符号得出最终结果。 3. 典型例题 计算 (−3) 4 ： 解：指数 4 是偶数，幂为正； 3 4 =81 ，故 (−3) 4 =81 。 计算 −3 4 （注意：无括号，底数是 3）： 解：先算 3 4 =81 ，再添负号，故 −3 4 =−81 。 计算 (− 2 1 ) 3 ： 解：指数 3 是奇数，幂为负； ( 2 1 ) 3 = 8 1 ，故 (− 2 1 ) 3 =− 8 1 。 （三）有理数的混合运算（含乘方） 1. 运算顺序（必须牢记） 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算（乘除或加减），从左到右依次进行； 如有括号，先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）。 2. 典型例题 计算： −2 2 +(−3)×[(−4) 2 +2]−(−3) 3 ÷3 解：第一步：算乘方： −2 2 =−4 ， (−4) 2 =16 ， (−3) 3 =−27 ；第二步：算括号内： (−4) 2 +2=16+2=18 ；第三步：算乘除： (−3)×18=−54 ， −(−27)÷3=27÷3=9 ；第四步：算加减： −4+(−54)+9=−49 。 （四）科学记数法（乘方的实际应用） 1. 定义 把一个大于 10 的数表示成 a×10 n 的形式（其中 1≤a<10 ， n 是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2. 核心要点 a 的取值范围： 1≤a<10 （必须是一位整数的小数，如 1.23，不能是 12.3 或 0.123）； n 的确定： n= 原数的整数位数 −1 。 3. 举例说明 用科学记数法表示 1230000： 解：原数整数位数是 7，故 n=7−1=6 ， a=1.23 ，即 1230000=1.23×10 6 。 还原 3.05×10 4 ： 解： n=4 ，把 3.05 的小数点向右移动 4 位，即 3.05×10 4 =30500 。 三、易错点警示 底数的符号混淆： 错误： (−2) 2 =−4 （正确结果是 4）， −2 2 =4 （正确结果是 - 4）； 关键：带括号的负数，底数是负数；不带括号的，底数是正数，负号单独计算。 指数与底数的位置颠倒： 错误：把 5 3 读作 “3 的 5 次方”（正确是 “5 的 3 次方”）； 关键：指数在右上角，底数在下方，先读底数再读指数。 混合运算顺序错误： 错误：先算加减再算乘方或乘除； 关键：严格遵循 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”。 科学记数法中 a 或 n 的确定错误： 错误： 12300=123×10 3 （ a=123 不符合 1≤a<10 ）； 关键： a 必须是一位整数开头的小数， n 是原数整数位数减 1。 四、基础练习题 1. 乘方的表示与计算 （1）把下列算式写成乘方形式：① (−5)×(−5)×(−5)×(−5)= ； ② 3 2 × 3 2 × 3 2 = 。 （2）计算下列各题：① 3 3 = ；② (−2) 4 = ；③ −1 5 = ；④ 0 2024 = ；⑤ (− 3 1 ) 2 = ______。 2. 混合运算 计算：（1） 10−(−2) 3 +(−3) 2 ；（2） (−1) 4 +(−2)×[3−(−2) 2 ] 。 3. 科学记数法 （1）用科学记数法表示下列各数：① 567000 = ______；② 123.4 = ______。 （2）还原下列科学记数法表示的数：① 2.05×10 5 = ；② 1.8×10 3 = 。 五、参考答案 1. 乘方的表示与计算 （1）① (−5) 4 ；② ( 3 2 ) 3 ；（2）① 27；② 16；③ -1；④ 0；⑤ 9 1 。 2. 混合运算 （1） 10−(−8)+9=10+8+9=27 ；（2） 1+(−2)×(3−4)=1+(−2)×(−1)=1+2=3 。 3. 科学记数法 （1）① 5.67×10 5 ；② 1.234×10 2 ；（2）① 205000；② 1800。 六、课堂小结 乘方是相同因数积的运算，核心是区分底数符号和指数奇偶性对结果的影响； 混合运算需严格遵循 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”； 科学记数法是乘方的实际应用，关键是确定 a （ 1≤a<10 ）和 n （整数位数减 1）。
![七年级数学 / 有理数的运算 / 有理数的乘法与除法
一、核心知识点梳理（匹配教材章节结构）
（一）有理数的乘法
1. 乘法法则（核心）
两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数与 0 相乘，积都为 0。
字母表示：
若
a>0
，
b>0
或
a<0
，
b<0
，则
ab=∣a∣×∣b∣
；
若
a>0
，
b<0
或
a<0
，
b>0
，则
ab=−(∣a∣×∣b∣)
；
若
a=0
或
b=0
，则
ab=0
。
2. 多个有理数相乘的符号法则
几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：
负因数的个数为偶数时，积为正；
负因数的个数为奇数时，积为负；
几个数相乘，若其中有一个因数为 0，则积为 0。
3. 乘法运算律（简化运算）
运算律 字母表示（
a,b,c
为有理数） 示例
乘法交换律
ab=ba
(−3)×5=5×(−3)=−15
乘法结合律
(ab)c=a(bc)
(−2)×3×(−4)=(−2)×[3×(−4)]=24
乘法分配律
a(b+c)=ab+ac
(−5)×(2+(−3))=(−5)×2+(−5)×(−3)=−10+15=5
4. 倒数的定义（为除法铺垫）
乘积为 1 的两个有理数互为倒数；
注意：
0 没有倒数（因为 0 乘任何数都为 0，无法得 1）；
倒数的符号与原数一致：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；
求分数的倒数：交换分子分母的位置（如
3
2
的倒数是
2
3
，
−
5
4
的倒数是
−
4
5
）；
整数的倒数：看作分母为 1 的分数（如 5 的倒数是
5
1
，-3 的倒数是
−
3
1
）。
（二）有理数的除法
1. 除法法则（两种表述，本质一致）
法则一（直接运算）：同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0（0 不能作除数）。
法则二（转化为乘法，核心方法）：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。
字母表示：
a÷b=a×
b
1
（
b
=0
）。
2. 注意事项
0 不能作除数（如
5÷0
无意义）；
分数的除法：转化为乘法后再计算（如
3
2
÷(−
5
4
)=
3
2
×(−
4
5
)=−
12
10
=−
6
5
）。
（三）有理数的乘除混合运算
1. 运算顺序
同级运算（只有乘除）：从左到右依次进行；
有括号的先算括号内的，再算括号外的。
2. 简化技巧
先将除法转化为乘法（全部变为 “×” 运算）；
利用乘法交换律和结合律，先约分再计算（减少大数运算）；
统一处理符号：先确定最终结果的符号，再计算绝对值。
二、典型例题解析（覆盖基础 + 中档题型）
（一）有理数乘法例题
例 1：两数相乘（基础题）
计算：
(−6)×(−
2
1
)
解：同号得正，绝对值相乘 →
∣−6∣×∣−
2
1
∣=6×
2
1
=3
，故结果为
3
。
例 2：多个有理数相乘（符号判断）
计算：
(−2)×3×(−4)×(−1)
解：负因数个数为 3（奇数），积为负；绝对值相乘：
2×3×4×1=24
，故结果为
−24
。
例 3：乘法分配律应用（简化运算）
计算：
(−
2
1
+
3
2
−
6
5
)×(−12)
解：分配律展开 →
(−
2
1
)×(−12)+
3
2
×(−12)−
6
5
×(−12)
=6−8+10=8
。
（二）有理数除法例题
例 4：除法转化为乘法（基础题）
计算：
(−18)÷(−
2
3
)
解：转化为乘法 →
(−18)×(−
3
2
)=18×
3
2
=12
。
例 5：0 的除法运算
计算：
0÷(−5.2)
解：0 除以任何非 0 数得 0，故结果为
0
。
（三）乘除混合运算例题
例 6：混合运算（含符号 + 约分）
计算：
(−4)×(−
2
1
)÷(−
3
2
)
解：步骤 1：转化除法为乘法 →
(−4)×(−
2
1
)×(−
2
3
)
步骤 2：判断符号：负因数个数 2+1=3（奇数），积为负；步骤 3：绝对值约分计算 →
4×
2
1
×
2
3
=3
；最终结果：
−3
。
三、易错点提醒（规避常见错误）
符号判断错误：多个负数相乘时，漏数负因数个数（牢记 “奇负偶正”）；
分配律应用漏乘：如
a(b+c)
易漏算
a×c
（例：
−2×(3−4)
不能算成
−2×3−4
）；
倒数概念混淆：误将 “相反数” 当作 “倒数”（如 - 2 的倒数是
−
2
1
，而非 2）；
0 的运算错误：出现 “0 作除数” 的情况（如
3÷0
），或误将 “0 乘任何数得 0” 写成 “0 乘任何数得任何数”；
乘除混合顺序错误：未从左到右运算，或未先转化为乘法就约分（如
8÷(−2)×(−3)
不能算成
8÷6
）。
四、分层练习题（基础巩固 + 能力提升）
（一）基础题（巩固知识点）
计算：
(−5)×(−7)
；
(−3)×
3
2
；
0×(−100)
求下列数的倒数：
−
4
3
；6；
−1.2
（提示：先化为分数
−
5
6
）
计算：
(−12)÷(−4)
；
5
3
÷(−
2
3
)
；
0÷
8
7
混合运算：
(−6)×(−
3
1
)÷(−2)
；
(−2.5)×4÷(−
2
1
)
（二）提高题（综合应用）
计算：
(−1)×(−2)×(−3)×(−4)×(−5)
（提示：负因数个数 5 个，奇数）
用分配律计算：
(−
4
3
)×(8−
3
4
−0.04)
混合运算：
(−
3
2
)÷(−
5
4
)×
5
3
；
(−18)÷[(−3)×2]
（提示：先算括号内）
（三）答案
基础题
35；-2；0
−
3
4
；
6
1
；
−
6
5
3；
−
5
2
；0
-1；20
提高题
-120
−6+1−0.03=−5.03
2
1
；3
五、学习小结（教材同步核心提炼）
有理数乘除的核心是 “符号法则”+“转化思想”：乘法靠 “同号得正、异号得负”，除法转化为乘法（乘倒数）；
运算律是简化计算的关键，尤其是乘法分配律，适用于含括号的混合运算；
牢记 “0 不能作除数”“0 没有倒数”“奇负偶正” 三个易错点，避免计算失误；
乘除混合运算遵循 “先转乘、再定号、后约分” 的步骤，提高计算效率和准确率。
可直接用于课堂复习、课后练习或备课课件素材，完全匹配七年级数学教材 “有理数的乘法与除法” 章节的知识结构和教学重点。](https://jieti11.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/video/cover/585164727807406081.png)
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